Question

Сумму x^5+y^5 выразите через сигму1 и сигму210 класс!​

Answer 1

$\sigma _1=x+y\; ,\; \; \sigma _2=xy\\\\S_1=x+y=\sigma _1\; ;\\\\S _2=x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=\sigma _1^2-2\sigma _2\; ;\\\\S_3=x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)(\, (x^2+y^2)-xy)=\\\\=(x+y)(\, (x+y)^2-3xy)=\sigma _1\cdot (\sigma _1^2-3\sigma _2)=\sigma _1^3-3\sigma _1\sigma _2\; ;\\\\S_4=x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=(\sigma _1^2-2\sigma _2)^2-2\sigma _2^2=\\\\=\sigma _1^4-4\sigma _1^2\sigma _2+2\sigma _2^2\; ;\\\\S_5=x^5+y^5\; ;\\\\\sigma _1\cdot S_4=(x+y)(x^4+y^4)=x^5+xy^4+x^4y+y^5=\\\\=(x^5+y^5)+xy(x^3+y^3)=S_5+\sigma _2\cdot S_3\; \; \Rightarrow \; \; \sigma _1\cdot S_4=S_5+\sigma _2\cdot S_3\; \; \Rightarrow$

$S_5=\sigma _1\cdot S_4-\sigma _2\cdot S_3=\sigma _1\cdot \Big ((\sigma _1^2-2\sigma _2)^2-2\sigma _2^2\Big )-\sigma _2\cdot \Big (\sigma _1\cdot (\sigma _1^2-3\sigma _2)\Big )=\\\\=\sigma _1\cdot (\sigma _1^4-4\sigma _1^2\sigma _2+2\sigma _2^2)-\sigma _2\cdot (\sigma _1^3-3\sigma _1\sigma _2)=\\\\=\sigma _1^5-5\sigma _1^3\sigma _2+5\sigma _1\sigma _2^2$

Answer 2

Для выражения суммы $x^5 + y^5$ через $\sigma_1$ и $\sigma_{10}$, воспользуемся формулами для симметрических функций.

Симметрические функции в $n$ переменных $x_1, x_2, \ldots, x_n$ определяются следующим образом:

$\sigma_1 = x_1 + x_2 + \ldots + x_n$ (сумма переменных), $\sigma_2 = x_1x_2 + x_1x_3 + \ldots + x_{n-1}x_n$ (сумма всех возможных попарных произведений), $\sigma_3 = x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + \ldots + x_{n-2}x_{n-1}x_n$ (сумма всех возможных произведений троек), $\ldots$, $\sigma_n = x_1x_2\ldots x_n$ (произведение всех переменных).

Теперь рассмотрим выражение $x^5 + y^5$. Мы хотим выразить его через $\sigma_1$ и $\sigma_{10}$.

Мы знаем, что:

$\sigma_1 = x + y$ (сумма переменных), $\sigma_2 = xy$ (произведение переменных).

Заметим, что $x^5 = (x^2)^2x = (x^2x)^2 = (x \cdot x^2)^2 = (x \cdot x^3)^2$.

Таким образом,

$x^5 + y^5 = (x \cdot x^3)^2 + (y \cdot y^3)^2 = (x \cdot (x^2)^2)^2 + (y \cdot (y^2)^2)^2 = (x \cdot (x^2 \cdot x))^2 + (y \cdot (y^2 \cdot y))^2$.

Используем здесь $(x \cdot (x^2 \cdot x))^2$ и $(y \cdot (y^2 \cdot y))^2$ для выражения частей $x^5$ и $y^5$ через $\sigma_1$ и $\sigma_{10}$:

$x^5 + y^5 = (x \cdot \sigma_2)^2 + (y \cdot \sigma_2)^2 = (x \cdot xy)^2 + (y \cdot xy)^2 = x^2y^2(x^2 + y^2) = \sigma_2 \cdot \sigma_1^2$