Question

Доказать неприводимость над полем многочлена по критерию Эйзенштейна

Answer 1

Если $f(x)$ приводим над $Q$, то $f(x+1)$ также приводим над $Q$

($a\in Q=>(a+1)\in Q\\ a\notin Q=> (a+1)\notin Q$)

$f(x+1)=(x+1)^6+...+(x+1)+1=\dfrac{1*((x+1)^7-1)}{x+1-1}=\dfrac{(x+1)^7-1}{x}=\dfrac{C_7^0x^7+C_7^1x^6+...+C_7^6x+C_7^7-1}{x}=C_7^0x^6+C_7^1x^5+...+C_7^6\\ C_7^k=\dfrac{7!}{(7-k)!k!}=>\forall k=\overline{1,6}\: \:\:C_7^k \:\vdots \:7;\:\:C_7^0=\dfrac{7!}{7!0!}=1=>HOD(C_7^0;7)=1\\ C_7^6=\dfrac{7!}{6!1!}=7,\:7^2=49,\:HOD(C_7^6;49)=1$

То есть существует неприводимый над Q элемент, равный 7, удовлетворяющий критерию Эйзенштейна для f(x+1). Значит f(x+1) неприводим над Q. Тогда и f(x) неприводим над Q.

Доказано.

Answer 2

Чтобы доказать неприводимость многочлена над полем F, используя критерий Эйзенштейна, нужно выполнить следующие условия:

1. Поле F должно быть целостным.
2. Многочлен должен быть примитивным (то есть его коэффициенты не имеют общих делителей, за исключением делителей из F).
3. Существует простое число p, которое делит все коэффициенты многочлена, кроме старшего, и квадрат которого не делит старший коэффициент.

Предположим, у нас есть многочлен f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0, где коэффициенты a_i принадлежат полю F.

Для доказательства неприводимости по критерию Эйзенштейна, мы ищем простое число p, которое делит все коэффициенты, кроме старшего a_n, и квадрат которого не делит старший коэффициент a_n.

1. Проверяем условие 1: Поле F должно быть целостным. Поле является целостным, если в нем выполняются все аксиомы алгебры, включая замкнутость относительно операций сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль).

2. Проверяем условие 2: Многочлен f(x) должен быть примитивным. Это означает, что его коэффициенты не имеют общих делителей, за исключением делителей из F. Если многочлен не примитивный, то мы можем поделить все его коэффициенты на их наибольший общий делитель, чтобы получить примитивный многочлен.

3. Проверяем условие 3: Находим простое число p, которое делит все коэффициенты, кроме старшего, и квадрат которого не делит старший коэффициент. Для этого проходимся по коэффициентам a_i многочлена f(x) (кроме старшего коэффициента a_n) и проверяем их делимость на простое число p. Если все коэффициенты (кроме a_n) делятся на p, а a_n не делится на p^2, то условие выполняется.

Если все эти условия выполнены, то многочлен f(x) является неприводимым над полем F по критерию Эйзенштейна.