Question

Найти асимптоты 1)f(x)=x^3/x^2-9 2)f(x)=x/x^2-x-2

Answer 1

$1)\; \; f(x)=\frac{x^3}{x^2-9}\; \; ,\; \; \; f(x)=\frac{x^3}{(x-3)(x+3)}\\\\a)\; \; \lim\limits _{x \to 3}\frac{x^3}{(x-3)(x+3)}=[\frac{27}{0}]=\+\infty \; \; \; \to \; \; \; \; x=3\; \; asimptota\\\\b)\; \; \lim\limits _{x \to -3}\frac{x^3}{(x-3)(x+3}=[\frac{-27}{0}]=-\infty \; \; \; \to \; \; \; x=-3\; \; asimptota\\\\c)\; \; y=kx+b\\\\k=\lim\limits _{x \to \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits _{x \to \infty}\frac{x^3}{x^3-9}=1$

$b=\lim\limits _{x \to \infty}(y-kx)=\lim\limits _{x \to \infty}(\frac{x^3}{x^2-9}-x)=\lim\limits _{x \to \infty}\frac{x^3-x^3+9x}{x^2-8}=\lim\limits _{x \to \infty}\frac{9x}{x^2-9}=0\\\\y=x\; \; asimptota\\\\\\2)\; \; f(x)=\frac{x}{x^2-x-2}\; \; ,\; \; \; f(x)=\frac{x}{(x-2)(x+1)}\\\\\lim\limits _{x \to 2}\frac{x}{(x-2)(x+1)}=[\frac{2}{0}]=+\infty \; \; \; \to \; \; \; x=2\; \; asimptota$

$\lim\limits _{x \to -1}\frac{x}{(x-2)(x+1)}=[\frac{-1}{0}]=-\infty \; \; \; \to \; \; \; x=-1\; \; asimptota\\\\y=kx+b:\; k=\lim\limits _{x \to \infty}\frac{x}{x\cdot (x^2-x-2)}=\lim\limits _{x \to \infty}\frac{1}{x^2-x-2}=0\; ,\; \; k=0\\\\b=\lim\limits _{x \to \infty}\frac{x}{x^2-x-2}=0\\\\y=0\; \; \; gorizontalnaya\; \; asimptota$

Answer 2

Для нахождения асимптот функции, мы сначала должны проверить, существуют ли асимптоты по горизонтали, вертикали и наклонные асимптоты. Давайте посмотрим на обе функции по очереди:

1. Функция f(x) = x^3 / (x^2 - 9)

Сначала проверим наличие вертикальной асимптоты. Вертикальные асимптоты возникают, когда знаменатель функции равен нулю, но числитель не равен нулю. Решим уравнение x^2 - 9 = 0:

x^2 - 9 = 0 (x - 3)(x + 3) = 0

Таким образом, у нас есть два значения x = 3 и x = -3, при которых функция может иметь вертикальные асимптоты. Однако перед тем, как делать вывод, давайте проверим, существуют ли горизонтальные асимптоты. Для этого нужно рассмотреть предел функции при x, стремящемся к бесконечности.

lim(x -> ∞) (x^3 / (x^2 - 9))

Чтобы вычислить этот предел, разделим все члены на x^2:

lim(x -> ∞) (x / (1 - 9/x^2))

Теперь, когда x стремится к бесконечности, 9/x^2 стремится к 0, и предел упрощается:

lim(x -> ∞) (x / (1 - 0)) = lim(x -> ∞) x = ∞

Таким образом, у функции нет горизонтальных асимптот.

Теперь рассмотрим возможные наклонные асимптоты. Они возникают, когда степень числителя больше степени знаменателя на 1. В нашем случае, степень числителя (3) больше степени знаменателя (2) на 1. Чтобы найти уравнение наклонной асимптоты, выполним деление x^3 на (x^2 - 9) с помощью долгого деления или алгоритма деления многочленов:

scssCopy code
        x
___________________________
x^2 - 9 | x^3 + 0x^2 + 0x + 0
        - (x^3 - 9x)
        _____________
               9x + 0x
             - (9x - 9*9)
              __________
                      81

Таким образом, деление даёт нам остаток 81. Это означает, что у функции есть наклонная асимптота, которая представляется уравнением y = x + 81.

Итак, у функции f(x) = x^3 / (x^2 - 9) есть вертикальная асимптота x = 3 и x = -3, а также наклонная асимптота y = x + 81.

2. Функция f(x) = x / (x^2 - x - 2)

Проверим наличие вертикальной асимптоты, решив уравнение x^2 - x - 2 = 0:

x^2 - x - 2 = 0

Можно факторизовать это уравнение:

(x - 2)(x + 1) = 0

Таким образом, у нас есть два значения