Question

Найти производные данных функций: 1)y=tg^6 (2 cos⁡4x ), 2)y=cos^4 3x∙∛(1+2x^2 )

Answer 1

Ответ:

=============================

Объяснение:

Answer 2

Давайте найдем производные данных функций по очереди:

1. y = tg^6(2cos⁡4x)

Для удобства обозначим внутреннюю функцию как u(x) = 2cos⁡4x, а внешнюю функцию как v(u) = tg^6(u). Тогда y = v(u(x)).

Применим правило производной сложной функции (chain rule):

dy/dx = dv/du * du/dx

Для нахождения производной v(u) = tg^6(u), используем правило производной функции, возведенной в степень:

dv/du = 6tg^5(u) * sec^2(u)

Теперь найдем производную внутренней функции u(x) = 2cos⁡4x:

du/dx = -8sin⁡4x

Теперь можем получить итоговую производную:

dy/dx = dv/du * du/dx = 6tg^5(u) * sec^2(u) * (-8sin⁡4x) = -48sin⁡4x * tg^5(2cos⁡4x) * sec^2(2cos⁡4x)

2. y = cos^4(3x)∙∛(1+2x^2)

Аналогично, обозначим внутреннюю функцию как u(x) = 3x, а внешнюю функцию как v(u) = cos^4(u)∙∛(1+2x^2). Тогда y = v(u(x)).

Используем правило производной сложной функции:

dy/dx = dv/du * du/dx

Для нахождения производной v(u) = cos^4(u)∙∛(1+2x^2), применим правило производной произведения функций:

dv/du = 4cos^3(u) * (-sin(u)) * ∛(1+2x^2) + cos^4(u) * (1/3)(1+2x^2)^(-2/3) * 4x

Теперь найдем производную внутренней функции u(x) = 3x:

du/dx = 3

Теперь можем получить итоговую производную:

dy/dx = dv/du * du/dx = [4cos^3(3x) * (-sin(3x)) * ∛(1+2x^2) + cos^4(3x) * (1/3)(1+2x^2)^(-2/3) * 4x] * 3 = 12cos^3(3x) * (-sin(3x)) * ∛(1+2x^2) + 4cos^4(3x) * (1+2x^2)^(-2/3) * x

Итак, мы получили производные данных функций:

1. dy/dx = -48sin⁡4x * tg^5(2cos⁡4x) * sec^2(2cos⁡4x)

2. dy/dx = 12cos^3(3x) * (-sin(3x)) * ∛(1+2x^2) + 4cos^4(3x) * (1+2x^2)^(-2/3) * x