Question

Пожалуйста, помогите! 1. Найдите область определения функции:y= √2/2cosx-√32. Решите уравнение:cos(2x+ П/3) = 1/23. Решите неравенство:cos(2x-П/4)<√2/24. Упростите выражение:sina+ cos(-a)/1-ctg(-a)5. Решите систему уравнений:sinx+cosy=0.5sin^2x-cos^2y=0.5​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1) Учитесь ставить скобки!

y = √2/(2cos x - √3)

Область определения косинуса - R = (-oo; +oo).

Область определения дроби - знаменатель не должен быть равен 0.

2cos x - √3 ≠ 0

cos x ≠ √3/2

x ≠ П/6 + 2П*k

x ≠ -П/6 + 2П*k

Область определения:

D(x) = (-П/6 + 2П*k; П/6 + 2П*k) U (П/6 + 2П*k; 11П/6 + 2П*k)

2) cos(2x + П/3) = 1/2

2x1 + П/3 = -П/3 + 2П*k; x1 = -2П/3 + 2П*k

2x2 + П/3 = П/3 + 2П*k; x2 = П*k

3) cos(2x - П/4) < √2/2

2x - П/4 ∈ (П/4 + 2П*k; 7П/4 + 2П*k)

2x ∈ (П/2 + 2П*k; 2П + 2П*k)

x ∈ (П/4 + П*k; П + П*k)

4) Опять - учитесь ставить скобки!

$\frac{sina+cos(-a)}{1-ctg(-a)} =\frac{sina+cosa}{1+ctga} = \frac{sina+cosa}{1+cosa/sina}= \frac{sina+cosa}{(sina+cosa)/sina}=\\ =\frac{sina(sina+cosa)}{sina+cosa}=sina$

Ответ: sin a

5) Система

{ sin x + cos y = 0,5

{ sin^2 x - cos^2 y = 0,5

Во 2 уравнении раскладываем разность квадратов на скобки.

{ sin x + cos y = 0,5

{ (sin x + cos y)(sin x - cos y) = 0,5

Подставляем 1 уравнение во 2 уравнение

0,5*(sin x - cos y) = 0,5

sin x - cos y = 1

Получаем новую систему

{ sin x + cos y = 0,5

{ sin x - cos y = 1

Складываем уравнения

2sin x = 1,5

sin x = 0,75

x = (-1)^n*arcsin(0,75) + П*k

cos y = 0,5 - sin x = 0,5 - 0,75 = -0,25

y = ± arccos(-0,25) + 2П*k

Answer 2

1. Область определения функции y = √(2/2cosx - √3/2): Для корректного определения функции необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть: 2/2cosx - √3/2 ≥ 0 cosx ≥ √3/2 x ∈ [0, π/6] ∪ [11π/6, 2π]

2. Решение уравнения cos(2x + π/3) = 1/2: cos(2x + π/3) = 1/2 2x + π/3 = π/3, 5π/3 (используем периодичность косинуса) 2x = 0, 4π/3 x = 0, 2π/3

3. Решение неравенства cos(2x - π/4) < √2/2: cos(2x - π/4) < √2/2 2x - π/4 ∈ (π/4, 3π/4) U (5π/4, 7π/4) (используем периодичность косинуса) 2x ∈ (π/4 + π/4, 3π/4 + π/4) U (5π/4 + π/4, 7π/4 + π/4) 2x ∈ (π/2, π) U (3π/2, 2π)

4. Упрощение выражения sin(a) + cos(-a) / (1 - ctg(-a)): cos(-a) = cos(a) (косинус четная функция) ctg(-a) = ctg(a) (котангенс четная функция)

sin(a) + cos(-a) / (1 - ctg(-a)) = sin(a) + cos(a) / (1 - ctg(a))

5. Решение системы уравнений sin(x) + cos(y) = 0.5 и sin^2(x) - cos^2(y) = 0.5: Первое уравнение: sin(x) + cos(y) = 0.5 (1)

Второе уравнение: sin^2(x) - cos^2(y) = 0.5 (sin(x) + cos(y))(sin(x) - cos(y)) = 0.5 (sin(x))^2 - (cos(y))^2 = 0.5 (2)

Используем тригонометрические тождества: sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

Заменим (2) в (1): (1 - cos^2(x)) - (cos(y))^2 = 0.5 1 - cos^2(x) - cos^2(y) = 0.5 1 - cos^2(x) - (1 - sin^2(y)) = 0.5 -sin^2(y) + cos^2(x) = 0 sin^2(y) = cos^2(x)

Так как sin^2(y) = 1 - cos^2(y), заменим в предыдущем уравнении: 1 - cos^2(y) = cos^2(x) 1 = cos^2(x) + cos^2(y) cos^2(x) + cos^2(y) = 1 (3)

Теперь у нас два уравнения: sin(x) + cos(y) = 0.5 (1) cos^2(x) + cos^2(y) = 1 (3)

Эту систему можно решить графически или численными методами для получения приближенных значений x и y.