Question

При каких значениях параметра a уравнение |x−1|=ax имеет ровно один корень?

Answer 1

Ответ:

a ∈ (-oo; -1) U {0} U (1; +oo)

Объяснение:

1) При x < 1 будет |x - 1| = 1 - x

1 - x = ax

1 = ax + x

x = 1/(a+1) < 1

При a = -1 корней нет. При всех других а проверяем неравенство

1/(a+1) - 1 < 0

(1-a-1)/(a+1) < 0

-a/(a+1) < 0

a/(a+1) > 0

a ∈ (-oo; -1) U (0; +oo)

2) При x = 1 будет

|1 - 1| = a*1

a = 0

Подходит, потому что корень только один: x = 1

3) При x > 1 будет |x - 1| = x - 1

x - 1 = ax

x - ax = 1

x = 1/(1-a)

При а = 1 корней нет.

При всех других а проверяем неравенство

1/(1-a) - 1 > 0

(1-1+a)/(1-a) > 0

a/(1-a) > 0

a/(a-1) < 0

a ∈ (0; 1)

Получаем a1 ∈ (-oo; -1) U (0; +oo); a2 ∈ (0; 1)

Промежуток а2 вырезается из промежутков а1.

Ответ: a ∈ (-oo; -1) U {0} U (1; +oo)

Answer 2

Уравнение |x - 1| = ax имеет ровно один корень, если и только если график модуля функции пересекает прямую y = ax в одной точке.

Рассмотрим два случая:

1. Когда a > 0: Если a > 0, то уравнение |x - 1| = ax эквивалентно двум уравнениям: x - 1 = ax (когда x - 1 ≥ 0) и -(x - 1) = ax (когда x - 1 < 0). Для первого уравнения получаем: x = 1 + ax. Для второго уравнения получаем: x = 1 - ax. Чтобы график модуля функции пересекал прямую y = ax в одной точке, эти два уравнения должны иметь одно и то же решение. То есть: 1 + ax = 1 - ax. Решим это уравнение относительно a: 2ax = 0, ax = 0. Так как a > 0, то получаем a = 0. Итак, при a = 0 уравнение |x - 1| = ax имеет ровно один корень.

2. Когда a < 0: Если a < 0, то уравнение |x - 1| = ax эквивалентно уравнению -(x - 1) = ax. Решим это уравнение относительно a: -x + 1 = ax. x - ax = 1. x(1 - a) = 1. x = 1 / (1 - a). Чтобы это уравнение имело решение, знаменатель должен быть отличен от нуля: 1 - a ≠ 0. Отсюда получаем a ≠ 1. Итак, при a ≠ 1 уравнение |x - 1| = ax имеет ровно один корень.

Итог: Уравнение |x - 1| = ax имеет ровно один корень при a = 0 или a ≠ 1.