Question

Срочно (x^2+2)/√(x^2+1)≥2

Answer 1

Доказать ,  что

(x^2+2)/√(x^2+1)≥2

((x^2+1)+1) /(√(x^2+1)) = √(x^2+1)  +   1/√(x^2+1)

Пусть для удобства :  √(x^2+1)=t >0

√(x^2+1)  +   1/√(x^2+1) =  t+ 1/t

Тогда можно применить  неравенство о среднем :

a+b>=2*√(a*b)    a>0  и  b >0

t+1/t>= 2*√(t*1/t)=2√1=2

√(x^2+1)  +   1/√(x^2+1)>=2

Таким образом

(x^2+2)/√(x^2+1)≥2

Что и требовалось  доказать.

Answer 2

Для решения данного неравенства, давайте начнем с упрощения выражения на левой стороне:

(x^2 + 2) / √(x^2 + 1) ≥ 2

Умножим обе стороны неравенства на √(x^2 + 1), чтобы избавиться от знаменателя:

(x^2 + 2) ≥ 2 * √(x^2 + 1)

Теперь возведем обе стороны неравенства в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(x^2 + 2)^2 ≥ 4(x^2 + 1)

Раскроем скобки на левой стороне:

x^4 + 4x^2 + 4 ≥ 4x^2 + 4

Упростим выражение:

x^4 ≥ 0

Поскольку x^4 всегда неотрицательно, данное неравенство выполняется для любых действительных значений x.

Таким образом, решением исходного неравенства является весь диапазон действительных чисел: (-∞, +∞).