Question

Упростите выражение:sin(a + B) - sin(a — B) ​

Answer 1

$sin(\alpha +\beta )-sin(\alpha -\beta )=2\cdot sin\frac{(\alpha +\beta )-(\alpha -\beta )}{2}\cdot cos\frac{(\alpha +\beta )+(\alpha -\beta )}{2}=\\\\=2\cdot sin\beta \cdot cos\alpha$

Answer 2

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой для разности синусов:

sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)

Применим эту формулу к нашему выражению:

sin(a + B) - sin(a - B) = (sin(a)cos(B) + cos(a)sin(B)) - (sin(a)cos(-B) - cos(a)sin(-B))

Заметим, что cos(-B) = cos(B) и sin(-B) = -sin(B):

= (sin(a)cos(B) + cos(a)sin(B)) - (sin(a)cos(B) + cos(a)(-sin(B)))

Теперь сгруппируем слагаемые по синусам и косинусам:

= sin(a)cos(B) + cos(a)sin(B) - sin(a)cos(B) - cos(a)(-sin(B))

Видим, что первое и третье слагаемые сокращаются, а второе и четвертое слагаемые также сокращаются:

= 2cos(a)sin(B)

Таким образом, упрощенное выражение равно 2cos(a)sin(B).