Question

Log² с основанием 2 х + Log с основанием 2 х - 2 меньше или равно 0

Answer 1

Ответ:

[1/4; 2].

Объяснение в прикреплённом изображении.

Answer 2

Для решения данного неравенства с логарифмами можно использовать следующий подход:

1. Избавимся от логарифмов в выражении.
2. Найдем область допустимых значений переменной x.
3. Проверим условия выполнения неравенства.

Итак, начнем с первого шага:

1. Избавимся от логарифмов, используя свойства логарифмов:

Log₂(2x) + Log₂(x - 2) ≤ 0

Для суммы логарифмов с одинаковым основанием выполняется следующее свойство:

Log_a(b) + Log_a(c) = Log_a(b * c)

Применим это свойство:

Log₂(2x * (x - 2)) ≤ 0

Теперь упростим выражение в скобках:

2x * (x - 2) ≤ 1

2. Найдем область допустимых значений переменной x. Для этого решим уравнение, которое получается при замене знака "<=" на "=".

2x * (x - 2) = 1

Раскроем скобки:

2x^2 - 4x = 1

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

2x^2 - 4x - 1 = 0

Теперь решим квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой дискриминанта:

Для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 дискриминант вычисляется по формуле:

D = b^2 - 4ac

В нашем случае:

a = 2, b = -4, c = -1

D = (-4)^2 - 4 * 2 * (-1) = 16 + 8 = 24

Так как дискриминант D больше нуля, уравнение имеет два различных действительных корня.

Используем формулу для нахождения корней:

x = (-b ± √D) / 2a

x₁ = (4 + √24) / 4 ≈ 1.79

x₂ = (4 - √24) / 4 ≈ -0.29

3. Проверим условия выполнения неравенства в каждой из областей:

a) x < -0.29: В этом интервале левая сторона неравенства отрицательна (так как логарифм отрицательного числа не определен), а правая сторона всегда положительна, так как x < -0.29 и оба множителя (2x и x - 2) будут отрицательными. Следовательно, неравенство выполняется.

b) -0.29 ≤ x ≤ 1.79: В этом интервале оба множителя (2x и x - 2) будут положительными или равными нулю. Значит, левая сторона неравенства будет неотрицательной. Правая сторона (1) всегда положительна. Следовательно, неравенство также выполняется в этом интервале.

c) x > 1.79: В этом интервале оба множителя (2x и x - 2) будут положительными, и левая сторона неравенства будет положительной. Правая сторона (1) всегда положительна. Таким образом, неравенство выполняется и в этом интервале.

Итак, решением данного неравенства является:

x ∈ (-∞, -0.29] ∪ [-0.29, 1.79] ∪ [1.79, +∞)