Question

Найдите сумму квадратов корней уравнения x^2 + (p-1)x + p^2 - 1,5 =0 и установите, при каком значении p эта сумма будет наибольшей

Answer 1

Ответ: Ответ: сумма квадратов корней уравнения равна -р^2-2р+4, при р=-1 её наибольшее значение равно 5

Объяснение: По теореме Виета

х (1)+х (2)=-(р-1)=1-р

х (1)*х (2)=р^2-1,5

(х (1)+х (2))^2=(1-р) ^2

(х (1))^2+(х (2))^2=(1-р) ^2 -2*x(1)*x(2)=(1-р) ^2 -2(р^2-1,5)=-р^2-2р+4

y=-р^2-2р+4 это квадратичная функция, ветви параболы направлены вниз, поэтому наибольшее значение она достигает в своей вершине.

р (0)=-1

у=5.

Answer 2

Для начала, найдем корни уравнения. У нас дано уравнение:

x^2 + (p-1)x + p^2 - 1.5 = 0

Чтобы найти корни, воспользуемся формулой дискриминанта:

Дискриминант (D) = (b^2 - 4ac)

где a, b и c - коэффициенты уравнения ax^2 + bx + c = 0.

В нашем случае:

a = 1 b = (p-1) c = p^2 - 1.5

Теперь вычислим дискриминант:

D = (p-1)^2 - 41(p^2 - 1.5) D = p^2 - 2p + 1 - 4p^2 + 6 D = -3p^2 - 2p + 7

Теперь найдем корни уравнения, используя формулу:

x = (-b ± √D) / 2a

x = (1 - √(-3p^2 - 2p + 7)) / 2 x = (1 + √(-3p^2 - 2p + 7)) / 2

Заметим, что выражение под корнем (D) не должно быть отрицательным, иначе корни будут комплексными числами. Поэтому условие для существования корней будет:

-3p^2 - 2p + 7 ≥ 0

Теперь найдем сумму квадратов корней, которая будет равна:

Сумма квадратов корней = x^2 + y^2 = (1 - √(-3p^2 - 2p + 7))^2 + (1 + √(-3p^2 - 2p + 7))^2

Для того чтобы найти максимальное значение этой суммы, найдем критические точки, где производная равна нулю:

d/dp [(1 - √(-3p^2 - 2p + 7))^2 + (1 + √(-3p^2 - 2p + 7))^2] = 0

После выполнения математических операций, получим:

p = -1 или p = 1/3

Теперь нужно проверить значения суммы квадратов корней при p = -1 и p = 1/3:

1. При p = -1: Сумма квадратов корней = (1 - √(-3(-1)^2 - 2(-1) + 7))^2 + (1 + √(-3(-1)^2 - 2(-1) + 7))^2 Сумма квадратов корней = (1 - √12)^2 + (1 + √12)^2 ≈ 6.828

2. При p = 1/3: Сумма квадратов корней = (1 - √(-3(1/3)^2 - 2(1/3) + 7))^2 + (1 + √(-3(1/3)^2 - 2(1/3) + 7))^2 Сумма квадратов корней = (1 - √(7/9))^2 + (1 + √(7/9))^2 ≈ 4

Таким образом, наибольшее значение суммы квадратов корней уравнения достигается при p = -1 и равно примерно 6.828.