Question

Помогите решить уравнение с комплексными числами z^3-3+3i=0

Answer 1

$z=\sqrt[3]{3-3i}$

Розглянемо комплексне число $a=3-3i,~~ |a|=\sqrt{3^2+(-3)^2}=3\sqrt{2}$

$a=3\sqrt{2}\Bigg(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}i\Bigg)=3\sqrt{2}\Bigg(\cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\Bigg)$

$z=\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{3\sqrt{2}}\Bigg(\cos\dfrac{-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k}{3}+i\sin\dfrac{-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k}{3}\Bigg),~~ k=0,1,2.$

Answer 2

Для решения данного уравнения с комплексными числами z^3 - 3 + 3i = 0, нам понадобится использовать алгебраический метод.

Давайте предположим, что z имеет комплексное значение в виде z = a + bi, где "a" и "b" - действительные числа, а "i" - мнимая единица (i^2 = -1).

Подставим это значение в уравнение:

(a + bi)^3 - 3 + 3i = 0

Далее раскроем куб:

(a^3 + 3a^2bi + 3ab^2i^2 + b^3i^3) - 3 + 3i = 0

Учитывая, что i^2 = -1 и i^3 = -i, упростим уравнение:

a^3 + 3a^2bi + 3ab^2(-1) + b^3(-i) - 3 + 3i = 0

Теперь объединим действительные и мнимые части:

(a^3 - 3ab^2 - 3) + (3a^2b - b^3 + 3)i = 0

Так как это равенство верно для любых действительных чисел "a" и "b", то каждая из скобок должна быть равна нулю:

1. Действительная часть равна нулю:

a^3 - 3ab^2 - 3 = 0 ............... (1)

2. Мнимая часть равна нулю:

3a^2b - b^3 + 3 = 0 ............... (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными "a" и "b". Мы можем решить эту систему уравнений численно или методом подбора, чтобы найти значения "a" и "b".

Дополнительно, заметим, что у нас нет компоненты с "i" в действительной части уравнения (1), что означает, что "b" должно быть равно нулю, иначе у нас бы появился "bi" в действительной части.

Таким образом, получаем:

b = 0

Теперь, подставляя b = 0 в уравнение (1), найдем значение "a":

a^3 - 3ab^2 - 3 = a^3 - 3(0) - 3 = a^3 - 3 = 0

a^3 = 3

a = ^(3√3)

Таким образом, получаем единственное решение уравнения: z = ^(3√3) + 0i, где ^(3√3) - это кубический корень из числа 3.