Question

50 БАЛЛОВ! ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!!!!!!!!!!! 2) Найдите корни уравнения на заданном промежутке: а) 3ctg3x-√3=0, xϵ[π/2;π] б) sin x= - 1/( 2), xϵ[-π;π] 3) Найдите наибольший отрицательный корень уравнения cos (x + π/12)=√2/2

Answer 1

$1)\; \; 3ctg3x-\sqrt3=0\; \; ,\; \; ctg3x=\frac{\sqrt3}{3}\; \; ,\; \; 3x=\frac{\pi }{3}+\pi n\; ,\; n\in Z\; ,\\\\x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3}\; ,\; n\in Z\\\\x\in [\, \frac{\pi}{2};\pi \, ]:\; \; x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi }{3}=\frac{7\pi }{9}\\\\2)\; \; sinx=-\frac{1}{2}\; \; ,\; \; x=(-1)^{n}\cdot (-\frac{\pi}{6})+\pi n\; ,\; n\in Z\\\\x\in [-\pi ;\, \pi \, ]:\; \; x=-\frac{5\pi }{6}\; \; ,\; \; x=-\frac{\pi }{6}$

$3)\; \; cos(x+\frac{\pi}{12})=\frac{\sqrt2}{2}\\\\x+\frac{\pi}{12}=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n\; ,\; n\in Z\\\\x=-\frac{\pi}{12}\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n=\left [ {{-\frac{\pi}{3}+2\pi n} \atop {\frac{\pi}{6}+2\pi n}} \right.$

Наибольший отрицательный корень   $x=-\frac{\pi}{3}$  .

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение по очереди:

2. а) Уравнение: 3ctg(3x) - √3 = 0, x ∈ [π/2; π]

Начнем с упрощения уравнения. Заметим, что ctg(3x) = 1/tan(3x). Тогда уравнение принимает вид:

3/tan(3x) - √3 = 0

Домножим обе части уравнения на tan(3x):

3 - √3 * tan(3x) = 0

Теперь выразим tan(3x):

tan(3x) = 3/√3 = √3

Используя таблицу значений тангенса, находим значения x, для которых tan(3x) равно √3.

tan(π/3) = √3

Таким образом, уравнение имеет единственное решение на заданном промежутке:

x = π/3

3. Уравнение: cos(x + π/12) = √2/2

Используя тригонометрическое тождество, cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β), преобразуем уравнение:

cos(x)cos(π/12) - sin(x)sin(π/12) = √2/2

Поскольку cos(π/12) = √3/2 и sin(π/12) = 1/2, подставляем значения:

cos(x)(√3/2) - sin(x)(1/2) = √2/2

Умножим обе части уравнения на 2:

2cos(x)(√3) - sin(x) = √2

Разделим обе части на √3:

2/√3 * cos(x) - 1/√3 * sin(x) = 1/√3 * √2

Теперь воспользуемся тригонометрическими соотношениями sin(π/6) = 1/2 и cos(π/6) = √3/2:

2/√3 * cos(x) - 1/√3 * sin(x) = sin(π/6)

Сравним соответствующие коэффициенты и заметим, что:

2/√3 = sin(π/6) 1/√3 = -cos(π/6)

Получаем:

cos(x)sin(π/6) - sin(x)cos(π/6) = sin(π/6)

Используя тригонометрическое тождество sin(α - β) = sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β), получаем:

sin(π/6 - x) = sin(π/6)

Таким образом, уравнение имеет два решения на заданном промежутке:

π/6 - x = π/6 => x = 0 π/6 - x = -π/6 => x = π/3

Ответ: x = 0, π/3

Надеюсь, это поможет вам! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.