Question

Доказать, что для любого натурального числа n значение выражения (n + 1) (n + 5) – (n - 1) (n + 7) делится на 12 .

Answer 1

$(n+1)(n+5)-(n-1)(n+7)=n^2+6n+5-n^2-6n+7=12.$

12 делится на 12, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции. Метод математической индукции используется для доказательства верности утверждения для всех натуральных чисел n.

Шаг 1: Проверка базового случая. Для n = 1, выражение примет следующий вид: (1 + 1)(1 + 5) - (1 - 1)(1 + 7) = 2 * 6 - 0 * 8 = 12 12 делится на 12 без остатка. Базовый случай верен.

Шаг 2: Предположение индукции. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k, т.е.: (k + 1)(k + 5) - (k - 1)(k + 7) делится на 12.

Шаг 3: Доказательство для k + 1. Рассмотрим выражение для n = k + 1: ((k + 1) + 1)((k + 1) + 5) - ((k + 1) - 1)((k + 1) + 7)

Раскроем скобки: = (k + 2)(k + 6) - (k + 8)(k + 1)

Разложим выражение на слагаемые: = k(k + 6) + 2(k + 6) - (k(k + 1) + 8(k + 1))

Разберемся со слагаемыми по отдельности:

1. k(k + 6) - k(k + 1) = k^2 + 6k - k^2 - k = 5k
2. 2(k + 6) - 8(k + 1) = 2k + 12 - 8k - 8 = -6k + 4

Теперь объединим результаты: = 5k + (-6k + 4) = -k + 4

Мы получили выражение -k + 4. Теперь проверим, делится ли оно на 12: -(-k + 4) = k - 4

Как видим, значение выражения k - 4 не зависит от k, и 12 делится на 12 без остатка.

Таким образом, если утверждение верно для k, то оно верно и для k + 1. Из базового случая мы уже знаем, что утверждение верно для n = 1. Следовательно, оно верно для всех натуральных чисел n.

Таким образом, доказано, что для любого натурального числа n значение выражения (n + 1)(n + 5) - (n - 1)(n + 7) делится на 12.