Question

Даю 25 баллов!!! Если найдется такое u, что аf(u)<0, то квадратный трёхчлен f(x)=ax^2+bx+c имеет два различных действительных корня, причём один из корней меньше, чем u, а другой больше, чем u. Докажите.​

Answer 1

рисунок, показывающий корни уравнения и значение переменной между корнями

https://prnt.sc/r31ybc

В данном неравенстве af(u) < 0 показывается, что a и f(u) разных знаков  D>0 (2 корня)

И есть такое утверждение, что Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число U, а другой больше, чем число U (U - между корнями) необходимо и достаточно выполнение одного из условий

1   a > 0

f(u) < 0

D > 0

2  a < 0

f(u) > 0

D > 0

для доказательства достаточно привести рисунок выше, там все понятно

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим квадратный трёхчлен f(x) = ax^2 + bx + c и предположим, что существует такое число u, что af(u) < 0.

Из данного предположения следует, что коэффициент a должен быть отрицательным, так как иначе произведение af(u) всегда будет положительным. Поэтому, a < 0.

Для доказательства существования двух различных действительных корней, причем один из корней меньше u, а другой больше u, воспользуемся теоремой Виета, которая устанавливает связь между коэффициентами квадратного трёхчлена и его корнями.

Согласно теореме Виета, сумма корней квадратного трёхчлена f(x) равна -b/a, а их произведение равно c/a.

Исходя из предположения, мы знаем, что af(u) < 0, что означает, что a и f(u) имеют разные знаки. Поскольку a < 0, значит, f(u) > 0.

Теперь рассмотрим случай, когда один из корней меньше u. Пусть x1 будет этим корнем. Тогда по теореме Виета получаем:

x1 + x2 = -b/a (1)

где x2 - другой корень квадратного трёхчлена.

Так как x1 < u и f(u) > 0, то f(x1) = ax1^2 + bx1 + c < 0.

Теперь подставим (x1, x2) в квадратный трёхчлен:

f(x1) + f(x2) = a(x1^2 + x2^2) + b(x1 + x2) + 2c

Так как x1 + x2 = -b/a, то:

f(x1) + f(x2) = a(x1^2 + x2^2) - b^2/a + 2c

Заметим, что второе слагаемое a(x1^2 + x2^2) - b^2/a является выражением для дискриминанта D квадратного трёхчлена:

D = b^2 - 4ac

Исходя из условия задачи, f(x1) < 0, что значит, что сумма f(x1) + f(x2) должна быть отрицательной. Таким образом, получаем:

a(x1^2 + x2^2) - b^2/a + 2c < 0

a(x1^2 + x2^2) + 2c < b^2/a

Так как a < 0, то можно умножить обе части неравенства на -a без изменения знака неравенства:

-a(x1^2 + x2^2) - 2ac > b^2

-a(x1^2 + x2^2) - 2ac + c^2 > b^2 + c^2

Теперь заметим, что левая часть выражения -a(x1^2 + x2^2) - 2ac + c^2 является выражением для (x1 - c)^2:

(x1 - c)^2 > b^2 + c^2

Следовательно, получаем неравенство:

(x1 - c)^2 > b^2 + c^2

Это неравенство гарантирует, что квадратный трёхчлен f(x) = ax^2 + bx + c имеет два различных действительных корня, один из которых меньше, чем u, а другой больше, чем u.

Таким образом, утверждение доказано.