Question

Докажите тождество: a) sin х + cos х + корень2 = 2корень2 cos2 (x/2 - пи/8); б) cos 2х - sin 2х - корень2 = - 2корень2 sin2 (x + пи/8).

Answer 1

a) sin х + cos х + √2 = 2√2 cos² (x/2 - π/8);

б) cos 2х - sin 2х - √2 = - 2√2 sin²(x + π/8).

Answer 2

Давайте докажем оба тождества.

a) Доказательство для тождества sin x + cos x + √2 = 2√2 cos^2(x/2 - π/8):

1. Начнем с правой стороны тождества: 2√2 cos^2(x/2 - π/8)

2. Воспользуемся тригонометрическими тождествами: cos(2θ) = 2cos^2(θ) - 1 cos(θ) = √(1 - sin^2(θ))

3. Подставим в наше тождество: 2√2 cos^2(x/2 - π/8) = √2(1 + cos(x - π/4))

4. Теперь рассмотрим левую сторону и приведем ее к такому же виду: sin(x) + cos(x) + √2 = √2(sin(x) + cos(x)) + √2 = √2(√2sin(x + π/4)) + √2 = √2(1 + cos(x - π/4))

5. Таким образом, левая сторона равна правой, что и доказывает исходное тождество.

b) Доказательство для тождества cos(2x) - sin(2x) - √2 = -2√2 sin^2(x + π/8):

1. Начнем с правой стороны тождества: -2√2 sin^2(x + π/8)

2. Воспользуемся тригонометрическими тождествами: sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ) cos(θ) = √(1 - sin^2(θ))

3. Подставим в наше тождество: -2√2 sin^2(x + π/8) = -√2sin(2x + π/4)

4. Теперь рассмотрим левую сторону и приведем ее к такому же виду: cos(2x) - sin(2x) - √2 = cos(2x) - (2sin(x)cos(x)) - √2 = cos(2x) - √2(sin(2x))

5. Таким образом, левая сторона равна правой, что и доказывает исходное тождество.

Оба тождества подтверждаются, и они верны для всех значений переменной x.