Question

СРОЧНО!!! Решить уравнение: 3sin^2x-4sinxcosx+cos^2x=0. В ответ записать количество корней на промежутке [0;π]

Answer 1

Это однородное уравнение второй степени .

$3Sin^{2}x-4Sinx Cosx + Cos^{2}x=0|:Cos^{2}x,Cosx\neq 0\\\\3tg^{2}x-4tgx+1=0\\\\tgx=m\\\\3m^{2}-4m+1=0\\\\D=(-4)^{2}-4*3*1=16-12=4=2^{2}\\\\m_{1} =\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3}\\\\m_{2}=\frac{4+2}{6}=1\\\\1)tgx=\frac{1}{3}\\\\x=arctg\frac{1}{3}+\pi n,n\in Z\\\\2)tgx=1\\\\x=\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in Z$

$1)n=0\Rightarrow x_{1} =arctg\frac{1}{3}\\\\2)n=0\Rightarrow x_{2}=\frac{\pi }{4}$

Answer 2

Давайте решим уравнение 3sin^2x - 4sinxcosx + cos^2x = 0:

Данное уравнение имеет вид asin^2x + bsinxcosx + ccos^2x = 0.

Мы можем преобразовать его, используя тригонометрические тождества, такие как sin^2x + cos^2x = 1 и sin2x = 2sinx*cosx:

3sin^2x - 4sinxcosx + cos^2x = 3(sin^2x + cos^2x) - 4sinxcosx = 3 - 4sinxcosx.

Теперь у нас есть уравнение: 3 - 4sinxcosx = 0.

Разрешим его:

4sinxcosx = 3

2sin2x = 3

sin2x = 3/2.

Заметим, что значения синуса не могут превышать 1, поэтому уравнение sin2x = 3/2 не имеет решений на промежутке [0;π]. Следовательно, исходное уравнение также не имеет решений на данном промежутке.

Ответ: Количество корней на промежутке [0;π] равно 0.