Question

Помогите!!! Решите уравнение cos 4 x + √ 3 sin 4 x = 1 введением вспомогательного аргумента.

Answer 1

делаем замену:

$4x=a$

получим:

$cosa+\sqrt{3}*sina=1$

поделим обе части уравнения на 2:

$\frac{1}{2} cosa+\frac{\sqrt{3}}{2} *sina=\frac{1}{2}$

заметим, что:

$sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}\\cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$

тогда:

$cos(\frac{\pi}{3})*cosa+sin(\frac{\pi}{3})*sina=\frac{1}{2}$

свернем по формуле косинус разности двух углов:

$cos(\frac{\pi}{3}-a)=\frac{1}{2}$

обратная замена:

$cos(\frac{\pi}{3}-4x)=\frac{1}{2}$

решаем:

$\frac{\pi}{3}-4x_1=\frac{\pi}{3} +2\pi n\\4x_1=-2\pi n\\x_1=-\frac{\pi n}{2},\ n \in Z\\\frac{\pi}{3}-4x_2=-\frac{\pi}{3} +2\pi n\\4x_2=\frac{2\pi}{3} -2\pi n\\x_2=\frac{\pi}{6} -\frac{\pi n}{2} ,\ n \in Z$

Ответ: $x=\left[\begin{array}{cc}\frac{\pi}{6} -\frac{\pi n}{2}\\-\frac{\pi n}{2}\end{array}\right., n \in Z$

Answer 2

Конечно, решим уравнение cos(4x) + √3sin(4x) = 1, используя вспомогательный аргумент.

Для начала, заметим, что cos(4x) и sin(4x) - это части формулы Муавра, которая выглядит следующим образом:

cos(θ) + i*sin(θ) = e^(iθ),

где i - мнимая единица (i^2 = -1).

Теперь давайте перепишем исходное уравнение, заменяя cos(4x) и sin(4x) с использованием формулы Муавра:

e^(i4x) + √3 * e^(i4x) = 1.

Теперь объединим слагаемые:

(1 + √3) * e^(i*4x) = 1.

Теперь избавимся от скобки, разделив обе стороны на (1 + √3):

e^(i*4x) = 1 / (1 + √3).

Теперь воспользуемся тем фактом, что для любого комплексного числа z = x + i*y, его модуль (абсолютное значение) вычисляется как |z| = √(x^2 + y^2).

Таким образом, модуль e^(i*θ) равен 1 для любого значения θ.

Мы знаем, что модуль правой стороны нашего уравнения равен |1 / (1 + √3)|, а это:

|1 / (1 + √3)| = 1 / |1 + √3|.

Теперь нам нужно найти модуль знаменателя. Поскольку (√3)^2 = 3, то:

|1 + √3| = √(1^2 + (√3)^2) = √(1 + 3) = √4 = 2.

Таким образом, модуль знаменателя равен 2.

Возвращаемся к уравнению:

e^(i*4x) = 1 / (1 + √3).

Теперь возведем обе стороны уравнения в степень (1/4), чтобы избавиться от показателя степени:

e^(i*4x)^(1/4) = (1 / (1 + √3))^(1/4).

Так как (a^b)^c = a^(b*c), получим:

e^(i*x) = (1 / (1 + √3))^(1/4).

Теперь, чтобы найти значение x, возьмем комплексный логарифм от обеих сторон уравнения:

i*x = ln((1 / (1 + √3))^(1/4)).

Теперь делим обе стороны на i:

x = (1/4) * ln(1 / (1 + √3)).

Вычислим значение этого выражения с помощью калькулятора:

x ≈ (1/4) * ln(1 / (1 + √3)) ≈ (1/4) * ln(1 / (1 + √3)) ≈ (1/4) * ln(1 / (1 + 1.732)) ≈ (1/4) * ln(1 / 2.732) ≈ (1/4) * ln(0.365) ≈ (1/4) * (-1.007) ≈ -0.252.

Таким образом, решение уравнения cos(4x) + √3sin(4x) = 1 с введением вспомогательного аргумента составляет:

x ≈ -0.252.