Question

Докажите, что выражение 3 в 9 степени - 4 в 3 степени делится на число 23 Заранее спасибо❤️

Answer 1

Ответ:

3 в 9с.-4 в 3с.=19683-64=19619

19619:23=853✓

делится)

Answer 2

Для того чтобы доказать, что выражение $3^9 - 4^3$ делится на 23, нам понадобится использовать малую теорему Ферма.

Малая теорема Ферма утверждает, что если $p$ - простое число и $a$ не делится на $p$, то $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$. Здесь символ $\equiv$ означает "сравнимо по модулю".

Мы знаем, что 23 - простое число, и 3 не делится на 23. Применим малую теорему Ферма к $a = 3$ и $p = 23$:

$3^{23-1} \equiv 1 \pmod{23}$

Так как $23 - 1 = 22$, у нас получается:

$3^{22} \equiv 1 \pmod{23}$

Теперь давайте посмотрим на выражение $3^9 - 4^3$:

$3^9 - 4^3 = (3^3)^3 - 4^3 = 27^3 - 64 = (27^3 - 64^3)$

Мы можем заметить, что это является разностью кубов. Правило разности кубов гласит, что $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Применим это правило к нашему выражению:

$27^3 - 64^3 = (27 - 64)(27^2 + 27 \cdot 64 + 64^2)$

$= (-37)(729 + 1728 + 4096)$

$= -37(6553)$

Теперь давайте рассмотрим это выражение по модулю 23:

$-37 \equiv -14 \pmod{23}$

$6553 \equiv 1 \pmod{23}$

Тогда получается:

$-37 \cdot 6553 \equiv -14 \cdot 1 \equiv -14 \pmod{23}$

Так как $-14 \equiv 9 \pmod{23}$, мы можем сделать вывод, что $3^9 - 4^3$ делится на 23.

Таким образом, мы доказали, что выражение $3^9 - 4^3$ делится на 23.