Question

Найдите первый член арифметической прогрессии и n, если d=3, аn= 23, Sn=85

Answer 1

Ответ: а₁=11; n=5.

Объяснение:

а n=а₁+d(n-1);   23=а₁+3(n-1);  а₁=23-3n+3;   а₁=26-3n.

Sn= (2а₁+d(n-1)):2*n;   85=(2а₁+3n-3)):2*n;  2а₁n+3n²-3n=170;

Подставим значение а₁ в уравнение суммы:

2n(26-3n)+3n²-3n-170=0;

52n-6n²+3n²-3n-170=0;

-3n²+49n-170=0;

3n²-49n+170=0;

D= 49²-4*3*170=2401-2040=361=19²;

n₁₂=(49±19):6;

n₁ =(49+19):6=68:6=11,3;  n∉N ⇒не удовлетворяет смыслу задачи.

n₂=(49-19):6=30:6=5.

а₁=26-3n=26-3*5=26-15=11.

Ответ: а₁=11; n=5.

Answer 2

Для арифметической прогрессии (АП) с известными значениями разности (d), последнего члена (a_n) и суммы первых n членов (S_n), мы можем найти первый член (a_1) и количество членов (n).

Формулы, которые нам понадобятся:

1. Формула общего члена арифметической прогрессии: a_n = a_1 + (n - 1) * d
2. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: S_n = (n / 2) * (a_1 + a_n)

Исходные данные: d = 3 (разность) a_n = 23 (последний член) S_n = 85 (сумма первых n членов)

1. Найдем n, используя формулу суммы первых n членов АП: S_n = (n / 2) * (a_1 + a_n)

Подставим известные значения: 85 = (n / 2) * (a_1 + 23)

2. Найдем a_1, используя формулу общего члена АП: a_n = a_1 + (n - 1) * d

Подставим известные значения: 23 = a_1 + (n - 1) * 3

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (a_1 и n). Решим эту систему уравнений:

Из уравнения 2 выразим a_1: a_1 = 23 - 3(n - 1) a_1 = 23 - 3n + 3 a_1 = 26 - 3n

Подставим это значение a_1 в уравнение 1: 85 = (n / 2) * (26 - 3n + 23)

Раскроем скобки: 85 = (n / 2) * (49 - 3n)

Теперь умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от деления: 170 = n * (49 - 3n)

Распишем уравнение: 170 = 49n - 3n^2

Приведем уравнение к квадратному виду: 3n^2 - 49n + 170 = 0

Теперь решим квадратное уравнение. Можно использовать факторизацию или квадратное уравнение:

(n - 5)(3n - 34) = 0

Отсюда получаем два возможных значения для n:

1. n - 5 = 0 => n = 5
2. 3n - 34 = 0 => n = 34/3

Так как n должно быть целым числом (количество членов последовательности не может быть дробью), то выбираем n = 5.

Теперь найдем a_1, используя любое из наших уравнений: a_1 = 26 - 3n a_1 = 26 - 3 * 5 a_1 = 26 - 15 a_1 = 11

Таким образом, первый член арифметической прогрессии (a_1) равен 11, а количество членов (n) равно 5.