Question

80 БАЛЛОВ! Найдите наибольшее значение функции y=(x+10)^2(x+9)+1 на отрезке [-12;-9,5]

Answer 1

$y=(x+10)^2(x+9)+1\; \; ,\; \; x\in [-12;-9,5\, ]\\\\y'=2(x+10)(x+9)+(x+10)^2\cdot 1+0=(x+10)\cdot (2x+18+x+10)=\\\\=(x+10)(3x+28)=0\\\\x_1=-10\; ,\; \; x_2=-\frac{28}{3}=-9\frac{1}{3}\\\\znaki\; y':\; \; +++(-10)---(-9\frac{1}{3})+++\\\\-9\frac{1}{3}\notin [-12;-9,5\, ]\\\\y(-10)=0\\\\y(-12)=(-2)^2\cdot (-3)+1=-11\\\\y(-9,5)=(0,5)^2\cdot (-0,5)+1=0,875\\\\\underline {y(naibol)=y(-9,5)=0,875}$

Answer 2

Чтобы найти наибольшее значение функции y=(x+10)^2(x+9)+1 на отрезке [-12;-9.5], необходимо найти критические точки функции в этом интервале. Критические точки — это точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Давайте найдем производную функции y по x и приравняем ее к нулю:

y = (x+10)^2(x+9) + 1

y' = 2(x+10)(x+9) + (x+10)^2

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

2(x+10)(x+9) + (x+10)^2 = 0

Раскроем скобки:

2(x^2 + 19x + 90) + (x^2 + 20x + 100) = 0

Упростим уравнение:

2x^2 + 38x + 180 + x^2 + 20x + 100 = 0

3x^2 + 58x + 280 = 0

Это квадратное уравнение. Мы можем решить его, используя квадратное уравнение или графический метод. Поскольку мы ищем наибольшее значение функции, мы можем предположить, что существует только одна критическая точка между -12 и -9.5.

Решив уравнение, мы получаем:

x ≈ -11.859 или x ≈ -9.141

Теперь мы можем найти значения функции y в этих точках и на концах интервала:

y(-12) ≈ 356 y(-11.859) ≈ 355.3 y(-9.141) ≈ 340.7 y(-9.5) ≈ 351.25

Наибольшее значение функции равно приблизительно 356 и достигается в точке x ≈ -12.