Question

28 cosx-3 sin x-8=0 помогите Пожалуйста

Answer 1

Если я правильно увидел пример, то вот он:

28cosx - 3sinx - 8 = 0

Итак. Зная что,

$sinx = \frac{2tg\frac{x}{2} }{1+tg(\frac{x}{2})^{2} }$

а также,

$cosx = \frac{1-tg(\frac{x}{2})^{2} }{1+tg(\frac{x}{2})^{2} }$

Предлагаю перейти к тангенсу:

$28 \frac{1-tg(\frac{x}{2})^{2} }{1+tg(\frac{x}{2})^{2}} -3\frac{2tg\frac{x}{2} }{1+tg(\frac{x}{2})^{2}}-8=0$

Теперь осталось верно решить получившееся тригонометрическое уравнение.

Предлагаю ввести замену. Пусть, tg(x/2) = z. Тогда:

$28\frac{1-z^{2} }{1+z^{2}} -3\frac{2z}{1+z^{2}} -8=0$

$\frac{28-28z^{2}-6z-8-8z^{2} }{1+z^{2} } =0$

28 - 28z² - 6z - 8 - 8z² = 0

-36z² - 6z + 20 = 0

18z² + 3z - 10 = 0

D = b² - 4ac = 9 - 4 * 18 * (-10) = 729 (27)

$z_{1}=\frac{-b-\sqrt{D} }{2a} = \frac{-3-27}{36} = -\frac{5}{6}$

$z_{2}=\frac{-b+\sqrt{D} }{2a} = \frac{-3+27}{36} = \frac{2}{3}$

Вернемся к замене:

tg(x/2) = -5/6     ⇒    x = - 2arctg(5/6) + 2Пn; n ∈ Z

tg(x/2) = 2/3      ⇒    x = 2arctg(2/3) + 2Пn; n ∈ Z

______________________________

Ответ: - 2arctg(5/6) + 2Пn и 2arctg(2/3) + 2Пn; n ∈ Z

Answer 2

Для решения уравнения 28cos(x) - 3sin(x) - 8 = 0, давайте преобразуем его и найдем значения x.

1. Сначала перепишем уравнение, выразив cos(x) и sin(x) через тригонометрические тождества: 28cos(x) - 3sin(x) - 8 = 0

   Разделим все коэффициенты на sqrt(28^2 + (-3)^2) = sqrt(793): (28/sqrt(793))cos(x) - (3/sqrt(793))sin(x) - 8/sqrt(793) = 0

   Пусть cos(α) = 28/sqrt(793) и sin(α) = -3/sqrt(793). Тогда можно записать: cos(x) = cos(α)cos(x) - sin(α)sin(x) sin(x) = sin(α)cos(x) + cos(α)sin(x)

2. Подставим значения cos(α) и sin(α): cos(x) = (28/sqrt(793))cos(x) - (-3/sqrt(793))sin(x) sin(x) = (-3/sqrt(793))cos(x) + (28/sqrt(793))sin(x)

3. Теперь объединим оба уравнения: (28/sqrt(793))cos(x) - (-3/sqrt(793))sin(x) = (-3/sqrt(793))cos(x) + (28/sqrt(793))sin(x)

4. Перенесем все элементы синуса и косинуса в одну часть уравнения: (28/sqrt(793) + 3/sqrt(793))cos(x) = (28/sqrt(793) + 3/sqrt(793))sin(x)

5. Поскольку это верно для любого x, то коэффициенты перед cos(x) и sin(x) должны быть равны: 28/sqrt(793) + 3/sqrt(793) = 28/sqrt(793) - 3/sqrt(793)

6. Упростим уравнение: 2 * 28/sqrt(793) = 0

7. Получили противоречие (0 ≠ 56/sqrt(793)), следовательно, уравнение не имеет решений.

Таким образом, данное уравнение не имеет решений в действительных числах.