Question

(4-cos^2x-3)/sqrt(cosx) = 0

Answer 1

Ответ:

На множестве действительных чисел:

$x = 2\pi k, \: k \in \mathbb{Z}$

На множестве комплексных:

$x = \pi n, \: n \in \mathbb{Z}$

Задание, скорее всего из ЕГЭ (№13, уравнение), а значит рассматриваем $x \in \mathbb{R}$, т.е. правильный первый ответ.

Объяснение:

Если решать только в области действительных чисел, то:

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю и существует, значит:

$\frac{4 - \cos^{2}(x) - 3}{ \sqrt{ \cos(x) } } = 0 \\ \Downarrow \\ \left \{{4 - \cos^{2}(x) - 3 = 0} \atop { \sqrt{ \cos(x)} \ne 0} \right. \\ \left \{{\cos^{2}(x) = 1} \atop { \cos(x) > 0} \right. \\ \left \{{ \cos(x) = 1 \: or \: \cos(x) = - 1 } \atop { \cos(x) > 0} \right. \\ \Downarrow \\ \cos(x) = 1 \\ x = 2\pi k, \: k \in \mathbb {Z}$

А если решать, учитывая и комплексные корни, то:

$\frac{4 - \cos^{2}(x) - 3}{ \sqrt{ \cos(x) } } = 0 \\ \Downarrow \\ \left \{{4 - \cos^{2}(x) - 3 = 0} \atop { \sqrt{ \cos(x)} \ne 0} \right. \\ \left \{{\cos^{2}(x) = 1} \atop { \cos(x) \ne 0} \right. \\ \left \{{ \cos(x) = 1 \: or \: \cos(x) = - 1 } \atop { \cos(x) \ne 0} \right. \\ \Downarrow \\ \cos(x) = 1 \: or \: \cos(x) = -1 \\ x = 2\pi n_{1}, \: n_{1} \in \mathbb {Z} \: or \: x= \pi + 2\pi n_{2}, \: n_{2} \in \mathbb{Z} \\ \Downarrow \\ x = \pi n, \: n \in \mathbb{Z}$

Answer 2

To solve the equation

$\frac{{4-\cos^2x-3}}{{\sqrt{\cos x}}} = 0$,

we can simplify it and solve for the variable $x$.

First, let's simplify the equation:

$\frac{{4-\cos^2x-3}}{{\sqrt{\cos x}}} = 0$

Combine like terms:

$\frac{{1-\cos^2x}}{{\sqrt{\cos x}}} = 0$

Now, we can factor the numerator:

$\frac{{(1-\cos x)(1+\cos x)}}{{\sqrt{\cos x}}} = 0$

The equation is equal to zero when the numerator is zero:

$1 - \cos x = 0$ or $1 + \cos x = 0$

Solving each equation separately:

For $1 - \cos x = 0$:

$\cos x = 1$

This equation is true when $x = 2n\pi$, where $n$ is an integer.

For $1 + \cos x = 0$:

$\cos x = -1$

This equation is true when $x = (2n+1)\pi$, where $n$ is an integer.

Therefore, the solutions to the original equation are:

$x = 2n\pi$ and $x = (2n+1)\pi$, where $n$ is an integer.