Question

Сумма первых пятнадцати нечетных чисел Вычислить первый член арифметической прогрессии, если сумма первых двенадцати членов равна 642 и двенадцатый член равен 48. Внутренние углы выпуклого многоугольника составляют арифметическую прогрессию, разность которой равна 10 градусов . Наименьший угол равен 50 градусов . Найдите наименьшее число сторон данного многоугольника.

Answer 1

1)Сумма первых пятнадцати нечетных чисел

1+3+5+...+(2n-1)=n^2

1+3+...+(2n-1)=15^2=225

2)Вычислить первый член арифметической прогрессии, если сумма первых двенадцати членов равна 642 и двенадцатый член равен 48.

S12=642

a12=48

a1=?

$s12 = \frac{a1 + a12}{2} \times 12$

$642 = \frac{a1 + 48}{2} \times 12 \\ a1 + 48 = 107 \\ a1 = 59$

3)Внутренние углы выпуклого многоугольника составляют арифметическую прогрессию, разность которой равна 10 градусов

. Наименьший угол равен 50 градусов

. Найдите наименьшее число сторон данного многоугольника.

первый угол 50. значит второй 50+10=60

не существует выпуклого многоугольника,где углы меньше 90 градусов.

значит эта фигура есть треугольник

50+60=110

180-110=70

углы____50,60,70

Answer 2

Давайте решим каждую задачу по порядку:

1. Сумма первых пятнадцати нечетных чисел: Первые пятнадцать нечетных чисел это: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29. Чтобы найти их сумму, сложим их:

Сумма = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29

Сумма = 225

2. Вычислить первый член арифметической прогрессии: Для нахождения первого члена арифметической прогрессии (a) и разности (d) используем формулы:

Сумма первых n членов арифметической прогрессии: S_n = (n/2) * (2a + (n-1)d)

Где n = 12, S_n = 642, и d = 48 - a (так как двенадцатый член равен 48).

Подставим известные значения:

642 = (12/2) * (2a + (12-1)(48 - a))

Решим уравнение:

642 = 6 * (2a + 11(48 - a)) 642 = 6 * (2a + 528 - 11a) 642 = 6 * (528 - 9a) 642 = 3168 - 54a 54a = 3168 - 642 54a = 2526 a = 2526 / 54 a = 47

Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен 47.

3. Наименьшее число сторон данного многоугольника: Из условия задачи, внутренние углы данного многоугольника составляют арифметическую прогрессию с разностью 10 градусов, а наименьший угол равен 50 градусов.

Мы знаем, что для многоугольника с n сторонами, сумма его внутренних углов равна (n - 2) * 180 градусов.

Теперь мы можем составить уравнение:

Сумма углов = 50 + (50 + 10) + (50 + 210) + ... + (50 + 1410) = 50 + 60 + 70 + ... + 190

Таким образом, мы должны найти сумму арифметической прогрессии с первым членом 50, разностью 10 и последним членом 190.

Формула для суммы арифметической прогрессии: S_n = (n/2) * (a + l)

где a - первый член, l - последний член, n - количество членов.

Сумма углов = (15/2) * (50 + 190) = 15 * 120 = 1800 градусов

Теперь, чтобы найти наименьшее число сторон многоугольника, мы можем использовать формулу снова:

Сумма углов = (n - 2) * 180

1800 = (n - 2) * 180

n - 2 = 1800 / 180

n - 2 = 10

n = 10 + 2

n = 12

Таким образом, наименьшее число сторон данного многоугольника равно 12.