Question

Знайти площу фігури обмеженої лініями y=4x-x^2 i y=0

Answer 1

$y=4x-x^2\; \; ,\; \; y=0\\\\4x-x^2=0\; \; \to \; \; x(4-x)=0\; \; ,\; \; x_1=0\; ,\; \; x_2=4\\\\S=\int\limits^4_0\, (4x-x^2)\, dx=(2x^2-\frac{x^3}{3})\Big |_0^4=32-\frac{64}{3}=\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}$

Answer 2

Щоб знайти площу фігури обмеженої лініями y = 4x - x^2 і y = 0, необхідно знайти інтеграл від функції, що обмежує фігуру, від певного значення x до іншого.

Спочатку знайдемо точки перетину ліній: y = 4x - x^2 y = 0

Тобто, щоб знайти точки перетину, ми вирішуємо рівняння:

4x - x^2 = 0

Тепер розв'яжемо рівняння: x(4 - x) = 0

Таким чином, маємо дві точки перетину: x = 0 та x = 4.

Тепер знаходимо площу між кривими функціями від x = 0 до x = 4. Площа може бути знайдена за допомогою інтегралу:

$\text{Площа} = \int_{0}^{4} (4x - x^2) dx$

Щоб обчислити інтеграл, виконаємо підстановку та інтегрування:

$\text{Площа} = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4}$

$\text{Площа} = \left[ 2(4)^2 - \frac{(4)^3}{3} \right] - \left[ 2(0)^2 - \frac{(0)^3}{3} \right]$

$\text{Площа} = \left[ 2(16) - \frac{64}{3} \right] - 0$

$\text{Площа} = \left[ 32 - \frac{64}{3} \right]$

$\text{Площа} = \frac{32}{3} \approx 10.67$

Таким чином, площа фігури, обмеженої лініями y = 4x - x^2 і y = 0, приблизно дорівнює 10.67 квадратними одиницями.