Question

Шерить дифференциальное уравнение: y'+y=cos(x)

Answer 1

$\lambda+1=0=>\lambda=-1=>y_{oo}=C_1e^{-x}\\ y=Acosx+Bsinx=>y'=-Asinx+Bcosx\\ Acosx+Bsinx-Asinx+Bcosx=cosx=>\left \{ {{A+B=1} \atop {B-A=0}} \right. =>y_{r_H}=\dfrac{1}{2}sinx+\dfrac{1}{2}cosx\\ y=\dfrac{1}{2}sinx+\dfrac{1}{2}cosx+C_1e^{-x}$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения можно использовать метод вариации постоянной. Прежде всего, рассмотрим соответствующее однородное уравнение:

y' + y = 0

Это уравнение имеет общее решение вида y_h = Ce^(-x), где C - произвольная постоянная.

Теперь приступим к поиску частного решения неоднородного уравнения. Предположим, что y_p(x) имеет вид:

y_p(x) = Acos(x) + Bsin(x),

где A и B - неизвестные коэффициенты, которые нужно найти.

Вычислим производную y_p'(x):

y_p'(x) = -Asin(x) + Bcos(x).

Подставим y_p(x) и y_p'(x) в исходное уравнение:

(-Asin(x) + Bcos(x)) + (Acos(x) + Bsin(x)) = cos(x).

Сгруппируем слагаемые синусов и косинусов:

(B + A)*cos(x) + (-A + B)*sin(x) = cos(x).

Из этого уравнения можно сделать два уравнения:

B + A = 1, -A + B = 0.

Решая эти уравнения, получим A = 1/2 и B = 1/2.

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

y_p(x) = (1/2)*cos(x) + (1/2)*sin(x).

Общее решение исходного дифференциального уравнения будет суммой общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

y(x) = y_h + y_p = Ce^(-x) + (1/2)*cos(x) + (1/2)*sin(x).

Где C - произвольная постоянная.