Question

Доведіть, що значення виразу 16^9 - 32^8 + 8^12 ділиться на 7

Answer 1

$16^9-32^8+8^{12}=4^{18}-4^4*4^{16}+4^6*4^{12}=4^{18}-4^{20}+4^{18}=4^{18}(1-16+1)=\\ =-4^{18}*2*7\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(16^9-32^8+8^{12})\;\vdots\; 7$

Answer 2

Для того щоб довести, що значення виразу $16^9 - 32^8 + 8^12$ ділиться на 7, ми можемо скористатися арифметикою залишків.

Спочатку розглянемо залишки при діленні кожного з членів виразу на 7:

$16^9 \mod 7$: Розділімо показник степеня 9 на 6 (оскільки $16^6 \mod 7 = 1$): $9 \mod 6 = 3$, отже, $16^9 \mod 7 = (16^6)^1 * 16^3 \mod 7 = 16^3 \mod 7$

Тепер обчислимо $16^3 \mod 7$: $16 \mod 7 = 2$, тому $16^3 \mod 7 = 2^3 \mod 7 = 8 \mod 7 = 1$

$32^8 \mod 7$: Розділімо показник степеня 8 на 3 (оскільки $32^3 \mod 7 = 1$): $8 \mod 3 = 2$, отже, $32^8 \mod 7 = (32^3)^2 * 32^2 \mod 7 = 32^2 \mod 7$

Тепер обчислимо $32^2 \mod 7$: $32 \mod 7 = 4$, тому $32^2 \mod 7 = 4^2 \mod 7 = 16 \mod 7 = 2$

$8^{12} \mod 7$: Розділімо показник степеня 12 на 3 (оскільки $8^3 \mod 7 = 1$): $12 \mod 3 = 0$, отже, $8^{12} \mod 7 = (8^3)^4 \mod 7 = 1^4 \mod 7 = 1$

Тепер підставимо знайдені залишки у вихідний вираз:

$16^9 - 32^8 + 8^{12} \mod 7 = (1) - (2) + (1) \mod 7 = 0 \mod 7$

Отже, $16^9 - 32^8 + 8^{12}$ ділиться на 7.