Question

Решить систему {cos x cos y = a^2; sin x sin y = 1 } в зависимости от параметра a

Answer 1

Складываем:

сosx·cosy+sinx·siny=a²+1⇒cos(x-y)=a²+1

Вычитаем:

сosx·cosy-sinx·siny=a²-1⇒cos(x+y)=a²-1

Получаем систему двух уравнений:

{cos(x-y)=a²+1

{cos(x+y)=a²-1

Первое уравнение имеет решения при

-1≤a²+1≤1⇒a=0

Второе уравнение имеет решения при

-1≤a²-1≤1⇒0≤a²≤2

Общим значением а, удовлетворяющим и первому и второму уравнению  является a=0

{cos(x-y)=1⇒x-y=2πk, k∈Z

{cosx(x+y)=-1⇒x+y=π+2πn, n∈Z

2x=π+2πm, m∈Z ( m=k+n)

x=(π/2)+πm, m∈Z

y=(π/2)+πp, p∈Z

О т в е т. при а=0

x=(π/2)+πm, m∈Z

y=(π/2)+πp, p∈Z

Answer 2

Для решения данной системы уравнений в зависимости от параметра a, мы будем использовать метод подстановки тригонометрических выражений.

Итак, у нас есть система уравнений:

1. cos(x) * cos(y) = a^2
2. sin(x) * sin(y) = 1

Сначала рассмотрим второе уравнение (2): sin(x) * sin(y) = 1

Так как sin(y) не может быть равным нулю, это означает, что sin(x) должен быть равен 1 (или -1), и наоборот, чтобы уравнение оставалось верным. Таким образом, у нас есть два случая:

1. sin(x) = 1 и sin(y) = 1
2. sin(x) = -1 и sin(y) = -1

Рассмотрим первый случай:

1. sin(x) = 1, тогда x = π/2 (так как sin(π/2) = 1) sin(y) = 1, тогда y = π/2 (так как sin(π/2) = 1)

Теперь рассмотрим второй случай:

2. sin(x) = -1, тогда x = -π/2 (так как sin(-π/2) = -1) sin(y) = -1, тогда y = -π/2 (так как sin(-π/2) = -1)

Теперь мы знаем значения x и y в обоих случаях. Теперь вернемся к первому уравнению (1) и подставим найденные значения:

1. cos(x) * cos(y) = a^2

Для первого случая (x = π/2, y = π/2):

cos(π/2) * cos(π/2) = (0) * (0) = 0 ≠ a^2

Для второго случая (x = -π/2, y = -π/2):

cos(-π/2) * cos(-π/2) = (0) * (0) = 0 ≠ a^2

Таким образом, мы видим, что система уравнений не имеет решений для любого значения параметра a, так как выражение cos(x) * cos(y) никогда не будет равно a^2, когда x и y равны π/2 или -π/2.

Итак, ответ: система уравнений не имеет решений в зависимости от параметра a.