Question

При каких значениях параметра а четыре корня уравнения x^4+(а-3)x²+(a+10)²=0 являются последовательными числами арифметической прогрессии?

Answer 1

Смотри в приложении:

Answer 2

Для того чтобы найти значения параметра а, при которых четыре корня уравнения x^4 + (а-3)x² + (а+10)² = 0 являются последовательными числами арифметической прогрессии, нужно выполнить следующие шаги:

1. Предположим, что корни уравнения образуют арифметическую прогрессию с шагом d, тогда они могут быть записаны в виде: x, x + d, x + 2d и x + 3d

2. Поскольку уравнение имеет корни x, x, x и x (что вполне возможно при условии, что у него есть кратные корни), это означает, что у нас есть один корень кратности 4, и мы можем записать уравнение в виде: (x - x)(x - (x+d))(x - (x+2d))(x - (x+3d)) = 0

3. Разрешим скобки и упростим выражение: (x² - x²)(x - x - d)(x - x - 2d)(x - x - 3d) = 0

4. Запишем это уравнение в форме, более удобной для дальнейшего анализа: (-d)(-2d)(-3d) = 0

5. Умножим значения шага d: -6d² = 0

6. Решим уравнение относительно d: d² = 0

7. Найдем d: d = 0

Таким образом, чтобы корни уравнения были последовательными числами арифметической прогрессии, значение шага d должно быть равно нулю.

Теперь найдем значение параметра а:

1. Подставим d = 0 в уравнение и решим его относительно a: x^4 + (a - 3)x² + (a + 10)² = 0

   Поскольку d = 0, корни уравнения имеют вид: x, x, x, x

2. Заменим у нас все корни на значение x: (x - x)(x - x)(x - x)(x - x) = 0

3. Упростим выражение: 0 = 0

4. Поскольку это верное утверждение, то a может принимать любое значение.

Таким образом, чтобы корни уравнения были последовательными числами арифметической прогрессии, необходимо, чтобы параметр а принимал любое значение.