Question

При каких значениях параметра а четыре корня уравнения x^4+(а-3)x²+(a+10)²=0 являются последовательными числами арифметической прогрессии?

Answer 1

Смотри в приложении:

Answer 2

Давайте разберемся с данной задачей. У нас есть уравнение:

x^4 + (a - 3)x² + (a + 10)² = 0.

Мы хотим найти такие значения параметра 'a', при которых корни этого уравнения будут последовательными числами арифметической прогрессии. Пусть корни уравнения будут x1, x2, x3 и x4. Тогда мы можем записать следующее:

x2 = x1 + d, x3 = x1 + 2d, x4 = x1 + 3d,

где 'd' - разность арифметической прогрессии.

Сначала давайте рассмотрим уравнение x^4 + (a - 3)x² + (a + 10)² = 0 и посмотрим на свойства корней.

Сумма корней уравнения x^4 + px² + q = 0 равна нулю, и это можно записать как:

x1 + x2 + x3 + x4 = 0.

Подставив значения корней, получим:

4x1 + 6d = 0, x1 = -3/2 * d.

Теперь мы знаем значение x1 через 'd'.

Среднее арифметическое корней также равно 0, и это можно записать как:

(x1 + x2 + x3 + x4) / 4 = 0, x1 + d + 2d + 3d = 0, x1 + 6d = 0, -3/2 * d + 6d = 0, 9/2 * d = 0, d = 0.

Получается, что разность арифметической прогрессии 'd' равна нулю. Однако это означает, что все корни уравнения совпадают, что не соответствует условию задачи о последовательных корнях.

Таким образом, задача не имеет решения при значениях параметра 'a', при которых корни уравнения будут последовательными числами арифметической прогрессии.