Question

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии -4√2; 4; -2√2

Answer 1

$\{b_{n}\}:\; \; -4\sqrt2\; ,\; 4\; ,\; -2\sqrt2\; ,\; ...\\\\q=\frac{b_{n}}{b_{n-1}}\; \; ,\qquad \frac{b_2}{b_1}=\frac{4}{-4\sqrt2}=-\frac{1}{\sqrt2} \; \; ,\; \; \; \frac{b_3}{b_2}=\frac{-2\sqrt2}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}=-\frac{1}{\sqrt2}\\\\\frac{b_2}{b_1}=\frac{b_3}{b_2}\; \; \Rightarrow \; \; \; q=-\frac{1}{\sqrt2}\\\\S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{-4\sqrt2}{1+\frac{1}{\sqrt2}}=\frac{-4\sqrt2\, \cdot \, \sqrt2}{\sqrt2+1}=-\frac{8}{\sqrt2+1}=-\frac{8\, (\sqrt2-1)}{(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)}=-8\, (\sqrt2-1)=$

$=8\, (1-\sqrt2)$

Answer 2

Для того чтобы найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, нужно убедиться, что модуль отношения каждого члена прогрессии меньше единицы (|r| < 1). Если это условие выполняется, то сумма прогрессии равна:

S = a / (1 - r),

где "a" - первый член прогрессии, а "r" - отношение (значение второго члена делить на первый).

Дана последовательность: a = -4√2, r = 4 / (-4√2) = -√2.

Теперь мы можем найти сумму:

S = (-4√2) / (1 - (-√2)).

Для дальнейшего упрощения, умножим числитель и знаменатель на (1 + √2):

S = (-4√2)(1 + √2) / ((1 + √2) - √2).

Произведение (1 + √2) и (√2) дает 2:

S = -4√2 * 2 / (1 + √2).

Раскроем знаменатель:

S = -8√2 / (1 + √2).

Для удобства умножим числитель и знаменатель на (1 - √2):

S = (-8√2)(1 - √2) / ((1 + √2)(1 - √2)).

Произведение (1 - √2) и (1 + √2) дает 1 - (√2)^2 = 1 - 2 = -1:

S = (-8√2)(1 - √2) / (-1).

Теперь упростим:

S = 8√2(√2 - 1).

Затем, чтобы убрать корень в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на (√2 + 1):

S = 8√2(√2 - 1)(√2 + 1) / ((√2 + 1)(-1)).

Произведение (√2 - 1) и (√2 + 1) дает разность квадратов (√2)^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1:

S = 8√2 / (-√2 - 1).

Таким образом, сумма бесконечной геометрической прогрессии -4√2, 4, -2√2 равна -8√2 / (1 + √2) или, альтернативно, 8√2 / (-√2 - 1). Оба варианта являются эквивалентными представлениями суммы.