Question

Найти производную функции: y=arctg^6*5x^4 Прошу༎ຶ‿༎ຶ

Answer 1

По правилу вычисления производной сложной  степенной функции

$(u^6)`=6\cdot u^5\cdot u`\\\\ ((arctg5x^4)^6)`=6\cdot arctg^5(5x^4)\cdot (arctg(5x^4))`$

и по правилу вычисления производной  сложной функции от arctg v:

$></p> <p> <img src=$

получаем ответ:

$=6\cdot arctg^5(5x^4)\cdot \frac{20x^3}{1+(5x^4)^2}=\frac{120x^3\cdot arctg^5(5x^4)}{1+25x^8}$

Answer 2

Чтобы найти производную функции $y = \arctan^6(5x^4)$, воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом) и правилом дифференцирования функции $\arctan(u)$, где $u$ - функция от $x$.

Правило дифференцирования функции $\arctan(u)$ имеет вид:

$$\frac{d}{dx} \left( \arctan(u) \right) = \frac{u'}{1 + u^2}$$

Применим это правило к нашей функции:

$$\frac{d}{dx} \left( \arctan^6(5x^4) \right) = \frac{d}{dx} \left( \arctan(u) \right) \cdot \frac{d}{dx} \left( \arctan^5(u) \right)$$

где $u = 5x^4$.

Теперь найдем производные по отдельности:

$$\frac{d}{dx} \left( \arctan(u) \right) = \frac{d}{dx} \left( \arctan(5x^4) \right) = \frac{1}{1 + (5x^4)^2} \cdot \frac{d}{dx} \left( 5x^4 \right) = \frac{20x^3}{1 + 25x^8}$$

$$\frac{d}{dx} \left( \arctan^5(u) \right) = \frac{d}{dx} \left( \arctan^5(5x^4) \right) = \frac{5}{1 + (5x^4)^2} \cdot \frac{d}{dx} \left( \arctan(5x^4) \right) = \frac{100x^3}{(1 + 25x^8)^2}$$

Теперь, перемножим эти две производные, чтобы получить итоговую производную:

$$\frac{d}{dx} \left( \arctan^6(5x^4) \right) = \frac{20x^3}{1 + 25x^8} \cdot \frac{100x^3}{(1 + 25x^8)^2} = \frac{2000x^6}{(1 + 25x^8)^3}$$

Таким образом, производная функции $y = \arctan^6(5x^4)$ равна $\frac{2000x^6}{(1 + 25x^8)^3}$.