Question

Пожалуйста срочно найдите первообразную (интегрирование по частям) (3x + 7)cos5xdx

Answer 1

$f(x) = (3x + 7)\cos 5x$

Найдем первообразную для функции $f(x)$ в виде неопределенного интеграла:

$\displaystyle \int\limits {(3x + 7)\cos 5x} \, dx$

Если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных функций, то справедлива следующая формула:

$\displaystyle \int\limits {u} \, dv = uv - \int\limits {v} \, du$

Предполагается, что нахождение интеграла $\displaystyle \int v\,du$ проще, чем $\displaystyle \int u\,dv$

Таким образом, сделаем соответствующие замены:

$3x + 7 = u \Rightarrow du = 3 \, dx$

$\cos 5x = dv \Rightarrow v = \displaystyle \int\limits {\cos 5x} \, dx = \dfrac{1}{5} \sin 5x$ (константу $C$ опускаем)

Имеем:

$\displaystyle \dfrac{1}{5} (3x + 7)\sin 5x - \int\limits {\dfrac{1}{5}\sin 5x \cdot 3} \, dx$

Упрощаем:

$\displaystyle \dfrac{1}{5} (3x + 7)\sin 5x - \dfrac{3}{5}\int\limits {\sin 5x} \, dx$

$\dfrac{1}{5} (3x + 7)\sin 5x + \dfrac{3}{25} \cos 5x + C$

Следовательно, $F(x) = \dfrac{1}{5} (3x + 7)\sin 5x + \dfrac{3}{25} \cos 5x + C$

Ответ: $F(x) = \dfrac{1}{5} (3x + 7)\sin 5x + \dfrac{3}{25} \cos 5x + C$

Answer 2

Ответ:

Вроде как-то так

Объяснение:

Answer 3

Конечно! Для интегрирования выражения (3x + 7)cos(5x)dx по частям, мы используем формулу интегрирования по частям:

∫u dv = uv - ∫v du,

где u и v - это функции, которые мы выбираем. Для данного выражения, выберем:

u = (3x + 7) (выбираем полиномиальную функцию)

dv = cos(5x)dx (выбираем тригонометрическую функцию)

Теперь найдем du и v:

du = d/dx(3x + 7)dx = 3dx (производная от полиномиальной функции)

v = ∫cos(5x)dx = (1/5)sin(5x) (интеграл от тригонометрической функции)

Теперь применим формулу интегрирования по частям:

∫(3x + 7)cos(5x)dx = uv - ∫v du

∫(3x + 7)cos(5x)dx = (3x + 7)(1/5)sin(5x) - ∫(1/5)sin(5x) * 3dx

Теперь вычислим последний интеграл:

∫(1/5)sin(5x) * 3dx = (3/5) ∫sin(5x)dx = (3/5) * (-1/5)cos(5x) + C = (-3/25)cos(5x) + C,

где C - произвольная константа интегрирования.

Теперь объединим все вместе:

∫(3x + 7)cos(5x)dx = (3x + 7)(1/5)sin(5x) - (-3/25)cos(5x) + C

Итак, первообразная данного выражения (3x + 7)cos(5x)dx равна:

∫(3x + 7)cos(5x)dx = (3x + 7)(1/5)sin(5x) + (3/25)cos(5x) + C,

где C - произвольная константа интегрирования.