Question

Вычислите интеграл 63* интеграл от 2п до п/2*cosx*cos3x*cos5xdx

Answer 1

Сначала решим неопределенный интеграл. 

$\displaystyle \int\limits {\cos x\cos 3x\cos 5x} \, dx =0.5\displaystyle \int\limits {(\cos2x+\cos4x)\cos5x} \, dx =\\ \\ \\ =0.5\displaystyle \int\limits {\cos4x\cos5x} \, dx +0.5\displaystyle \int\limits {\cos2x\sin5x} \, dx =\\ \\ \\ =0.25\displaystyle \int\limits {(\cos x+\cos 9x)} \, dx +0.25\displaystyle \int\limits {(\cos 3x+\cos 7x)} \, dx =\\ \\ \\ = \dfrac{\sin x}{4} + \dfrac{\sin3x}{12} + \dfrac{\sin7x}{28} + \dfrac{\sin 9x}{36}$

Считаем определенный интеграл.

$63\cdot \bigg(\dfrac{\sin x}{4} + \dfrac{\sin3x}{12} + \dfrac{\sin7x}{28} + \dfrac{\sin 9x}{36}\bigg)\bigg|^\big{2\pi}_\big{ \frac{\pi}{2} }=\\ \\ \\ =\dfrac{1}{4} \bigg(63\sin x+21\sin 3x+9\sin7x+7\sin 9x\bigg)\bigg|^\big{2\pi}_\big{ \frac{\pi}{2} }=\\ \\ \\ = \dfrac{1}{4} \bigg(63\sin2 \pi +21\sin6 \pi +9\sin14 \pi +7\sin18\pi-63\sin \frac{\pi}{2} -\\ \\ \\ -21\sin\frac{3\pi}{2} -9\sin\frac{7\pi}{2} -7\sin\frac{9\pi}{2} \bigg)=-10$

Answer 2

Для вычисления данного интеграла, мы можем использовать метод интегрирования по частям и формулу тройного угла для косинуса.

Интеграл имеет вид: ∫(63 * ∫(2π до π/2) cos(x) * cos(3x) * cos(5x) dx)

Первым шагом мы можем вычислить внутренний интеграл: ∫(2π до π/2) cos(x) * cos(3x) * cos(5x) dx

Применим формулу тройного угла для косинуса: cos(a) * cos(b) * cos(c) = (1/4) * [cos(a + b + c) + cos(a - b + c) + cos(a + b - c) + cos(a - b - c)]

Применяя эту формулу, получим: ∫(2π до π/2) (1/4) * [cos(9x) + cos(-7x) + cos(-3x) + cos(x)] dx

Теперь мы можем вычислить каждый из этих интегралов отдельно. Для интеграла ∫(2π до π/2) cos(9x) dx, мы можем использовать формулу интегрирования синуса: ∫ cos(ax) dx = (1/a) * sin(ax) + C

Применяя эту формулу, получим: (1/9) * sin(9x) ∣ (2π до π/2) = (1/9) * [sin(9 * (π/2)) - sin(9 * 2π)]

Для интеграла ∫(2π до π/2) cos(-7x) dx, мы можем использовать формулу интегрирования синуса: ∫ cos(ax) dx = (1/a) * sin(ax) + C

Применяя эту формулу, получим: (1/-7) * sin(-7x) ∣ (2π до π/2) = (1/-7) * [sin(-7 * (π/2)) - sin(-7 * 2π)]

Для интеграла ∫(2π до π/2) cos(-3x) dx, мы можем использовать формулу интегрирования синуса: ∫ cos(ax) dx = (1/a) * sin(ax) + C

Применяя эту формулу, получим: (1/-3) * sin(-3x) ∣ (2π до π/2) = (1/-3) * [sin(-3 * (π/2)) - sin(-3 * 2π)]

Для интеграла ∫(2π до π/2) cos(x) dx, мы можем использовать формулу интегрирования синуса: ∫ cos(ax) dx = (1/a) * sin(ax) + C

Применяя эту формулу, получим: (1/1) * sin(x) ∣ (2π до π/2) = (1/1) * [sin(π/2) - sin(2π)]

Теперь, когда мы вычислили каждый из интегралов, мы можем объединить их значения и вычислить итоговый результат.