Question

Знайдіть проміжки зростання та спадання функції а) у= 3х2-12х +8

Answer 1

Коріння рівняння: 1 1/3, 2. Функція зростає з -∞ до 1 1/3, убуває з 1 1/3 до 2 і зростає з 2 до + ∞

Answer 2

Щоб знайти проміжки зростання та спадання функції у = 3х^2 - 12х + 8, спочатку треба знайти точки, де похідна функції дорівнює нулю, і визначити їх характер (точки мінімуму чи максимуму). Після цього, аналізуючи поведінку функції навколо цих точок, можна визначити проміжки зростання та спадання.

1. Знайдемо похідну функції у відносно х: у' = d(3х^2 - 12х + 8)/dx = 6х - 12.

2. Рівняємо похідну нулеві, щоб знайти точки, де вона дорівнює нулю: 6х - 12 = 0.

3. Розв'язуємо рівняння: 6х = 12, х = 12 / 6, х = 2.

Тепер, ми знаємо, що у = 3х^2 - 12х + 8 має стаціонарну точку (точку, де похідна дорівнює нулю) при х = 2.

4. Визначимо характер цієї точки (мінімум чи максимум) використовуючи другу похідну:

у'' = d(6х - 12)/dx = 6.

Друга похідна дорівнює 6, що є додатнім числом. Це означає, що у = 3х^2 - 12х + 8 має мінімум у точці х = 2.

Тепер аналізуємо функцію навколо точки х = 2, щоб знайти проміжки зростання та спадання:

1. Проміжок спадання: Перед точкою х = 2, функція зростає. Таким чином, ми шукаємо проміжок зростання, де функція збільшується до точки х = 2. Для х < 2, у' = 6х - 12 < 0 (бо 6х - 12 є від'ємним числом при х < 2). Таким чином, проміжок спадання функції -∞ < х < 2.

2. Проміжок зростання: Після точки х = 2, функція спадає. Таким чином, ми шукаємо проміжок спадання, де функція зменшується від точки х = 2. Для х > 2, у' = 6х - 12 > 0 (бо 6х - 12 є додатнім числом при х > 2). Таким чином, проміжок зростання функції 2 < х < +∞.

Отже, проміжки зростання та спадання функції у = 3х^2 - 12х + 8 такі: -∞ < х < 2 (проміжок спадання) 2 < х < +∞ (проміжок зростання)