Question

Найдите седьмой член и знаменатель геометрической прогрессии с положительными членами, если: b6=3,b8=1/3

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

bₙ=b₁qⁿ⁻¹

Система уравнений:

3=b₁q⁶⁻¹; b₁=3/q⁵

1/3=b₁q⁸⁻¹; b₁=(1/3)/q⁷=1/(3q⁷)

3/q⁵=1/(3q⁷)

9q²=1

q=±√(1/9)

q₁=-1/3 - этот корень не подходит по условию задачи, где должны быть положительные члены.

q₂=1/3 - знаменатель геометрической прогрессии.

b₇=b₆q=3·1/3=1 - 7-й член геометрической прогрессии.

Answer 2

Для геометрической прогрессии с положительными членами общий член имеет вид:

$b_n = b_1 \times r^{(n-1)},$

где $b_n$ - n-й член прогрессии, $b_1$ - первый член прогрессии, $r$ - знаменатель прогрессии.

У нас даны значения $b_6 = 3$ и $b_8 = \frac{1}{3}$.

Используя формулу общего члена, мы можем записать:

$b_6 = b_1 \times r^{(6-1)} = b_1 \times r^5 = 3,$

$b_8 = b_1 \times r^{(8-1)} = b_1 \times r^7 = \frac{1}{3}.$

Теперь, чтобы найти $b_7$, мы можем использовать оба уравнения:

$b_8 = b_1 \times r^7 \Rightarrow \frac{1}{3} = b_1 \times r^7.$

$b_6 = b_1 \times r^5 \Rightarrow 3 = b_1 \times r^5.$

Теперь мы можем разделить уравнения:

$\frac{3}{1/3} = \frac{b_1 \times r^5}{b_1 \times r^7}.$

$\frac{3}{1/3} = 9 = r^2.$

Теперь найдем знаменатель $r$:

$r^2 = 9 \Rightarrow r = \sqrt{9} = 3.$

Теперь, когда у нас есть значение $r$, мы можем найти $b_1$ из одного из исходных уравнений. Давайте возьмем первое уравнение:

$3 = b_1 \times r^5 = b_1 \times 3^5 = 243 \times b_1.$

Теперь найдем $b_1$:

$b_1 = \frac{3}{243} = \frac{1}{81}.$

Таким образом, седьмой член прогрессии $b_7$ равен $b_1 \times r^{(7-1)} = \frac{1}{81} \times 3^6 = \frac{1}{81} \times 729 = \frac{9}{3} = 3$.

Значит, седьмой член прогрессии $b_7 = 3$, а знаменатель $r = 3$.