Question

Исследовать ряд 1/n*ln(n) на сходимость по интегральному признаку

Answer 1

Объяснение:

Если интеграл сходится, то сходится и ряд, и наоборот:

$\int\limits^\infty_2 {\frac{1}{x*lnx} } \, dx =>[t=lnx, dt=\frac{dx}{x}]=> \int\limits^\infty_2 {\frac{dt}{t} }=lnt=ln|ln(\infty)|-ln|ln(2)|=\infty-ln|ln(2)|=\infty$

Ряд расходится.

Answer 2

Для исследования сходимости ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n)}$ по интегральному признаку, мы сначала рассмотрим соответствующий интеграл:

$\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x \ln(x)} \, dx$

Мы выбираем нижний предел интегрирования $2$, так как при $n = 1$ в знаменателе у нас будет $0$, что делает выражение неопределенным.

Для определенности, выполним замену переменной $u = \ln(x)$. Тогда $du = \frac{dx}{x}$ и границы интегрирования также изменятся:

$\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x \ln(x)} \, dx = \int_{\ln(2)}^{\infty} \frac{1}{u} \, du$

Теперь рассмотрим интеграл:

$\int_{\ln(2)}^{\infty} \frac{1}{u} \, du = \lim_{{b \to \infty}} \int_{\ln(2)}^{b} \frac{1}{u} \, du$

$= \lim_{{b \to \infty}} [\ln(u)]_{\ln(2)}^{b} = \lim_{{b \to \infty}} \ln(b) - \ln(\ln(2))$

Поскольку $\ln(b)$ стремится к бесконечности при $b \to \infty$, а $\ln(\ln(2))$ является константой, то данный интеграл расходится.

Таким образом, по интегральному признаку, исходный ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n)}$ также расходится.