Question

Исследовать сходимость числового ряда: 2/3+4/9+6/27+8/81+.... по признаку Даламбера

Answer 1

Данный ряд сходится по признаку Даламбера, так как предел отношения(n+1)-го члена к п-ному члену  ряда меньше 1 (это условие сходимости)

Определяем. что n-ый член последовательности данного ряда равен 2n/3^n ......

Answer 2

ВОБЩЕ ЭТО ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ РАЗНОСТЬ КОТОРОЙ РАВНА 2/3 . ПЕРВОЕ ЧИСЛО ЧИСЛОВОГО РЯДА РАВНО РАЗНОСТИ ПРОГРЕССИИ А ЗНАЧИТ КАЖДЫЙ ПОСЛЕДУЮЩИЙ ЧЛЕН ПРОГРЕССИИ РАВЕН 2 В СТЕПЕНИ N/3 В СТЕПЕНИ N ИЛИ (2/3) В СТЕПЕНИ N

Answer 3

Для исследования сходимости числового ряда по признаку Даламбера, мы должны рассмотреть отношение соседних членов ряда. Признак Даламбера позволяет определить, сходится ли ряд абсолютно или расходится.

Для данного числового ряда: 2/3, 4/9, 6/27, 8/81, ...

Мы можем рассмотреть отношение соседних членов ряда:

a(n+1)/a(n) = (2(n+1))/(3^(n+1)) / (2n)/(3^n)

Упрощая это выражение, получим:

a(n+1)/a(n) = (2(n+1))/(2n) * (3^n)/(3^(n+1))

a(n+1)/a(n) = (n+1)/n * 1/3

a(n+1)/a(n) = (n+1)/(3n)

Теперь мы можем проанализировать это выражение. Если предел отношения a(n+1)/a(n) при n стремится к бесконечности, то ряд расходится. Если предел равен нулю или конечному числу, то ряд сходится.

Для нашего числового ряда, предел отношения a(n+1)/a(n) при n стремится к:

lim (n->∞) [(n+1)/(3n)]

Чтобы вычислить этот предел, мы можем применить правило Лопиталя:

lim (n->∞) [(n+1)/(3n)] = lim (n->∞) [1/3] = 1/3

Таким образом, предел отношения a(n+1)/a(n) при n стремится к 1/3. Поскольку этот предел является конечным числом, мы можем сделать вывод, что данный числовой ряд сходится по признаку Даламбера.

Вывод: Числовой ряд: 2/3, 4/9, 6/27, 8/81, ... сходится по признаку Даламбера.

[[1]]