Question

Решите, пожалуйста, систему уравнений: 5х²-6ху+5у²=29 7х²-8ху+7у²=43

Answer 1

5х²-6ху+5у²=29

7х²-8ху+7у²=43

--

5х²-10ху+5у²+4xy=29

7х²-14ху+7у²+6xy=43

--

5(x²-2ху+у²)+4ху=29  

7(х²-2ху+у²)+6ху=43  

------

5(x-у)²+4ху=29  

7(х-у)²+6ху=43  

-----

замена

ху=а

(х-у)²=b

5b+4а=29 |*6  

7b+6а=43 |*4

--

5b+4а=29 |*6  

7b+6а=43 |*4

--

30b + 24a = 174

28b + 24a = 172

--

вычитаем

2b = 2

b = 1

5*1 + 4a = 29

4a = 24

a = 6

--

ху=6

(х-у)²=1

|x - y| = 1

1. x - y = 1

x = 1 + y

y(y + 1) = 6

y² + y - 6 = 0

D = 1 + 24 = 25

y12=(-1 +- 5)/2 = -3    2

y1 = -3    x1 = -2

y2 = 2    x2 = 3

2. x - y = -1

x = -1 + y

y(y - 1) = 6

y² - y - 6 = 0

D = 1 + 24 = 25

y12=(1 +- 5)/2 = 3    -2

y1 = 3    x1 = 2

y2 = -2    x2 = -3

Ответ (-2, -3) (3,2) (2,3) (-3,-2)

Answer 2

Для решения этой системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом исключения переменных. Давайте воспользуемся методом подстановки.

Исходная система уравнений:

1. $5x^2 - 6xy + 5y^2 = 29$
2. $7x^2 - 8xy + 7y^2 = 43$

Давайте решим первое уравнение относительно одной из переменных, например, $x$: $5x^2 - 6xy + 5y^2 = 29$ $5x^2 - 6xy + 5y^2 - 29 = 0$

Решим это уравнение как квадратное уравнение относительно $x$: $5x^2 - 6xy + 5y^2 - 29 = 0$ $5x^2 - (6y)x + 5y^2 - 29 = 0$

Используя квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$, можно найти $x$: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

В данном случае, $a = 5$, $b = -6y$, $c = 5y^2 - 29$. Подставляем значения: $x = \frac{6y \pm \sqrt{(-6y)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (5y^2 - 29)}}{2 \cdot 5}$

$x = \frac{6y \pm \sqrt{36y^2 - 100y^2 + 580}}{10}$ $x = \frac{6y \pm \sqrt{-64y^2 + 580}}{10}$ $x = \frac{6y \pm \sqrt{4 \cdot (145 - 16y^2)}}{10}$ $x = \frac{6y \pm 2 \sqrt{145 - 16y^2}}{10}$ $x = \frac{3y \pm \sqrt{145 - 16y^2}}{5}$

Теперь у нас есть два возможных значения $x$, которые мы можем подставить во второе уравнение и решить относительно $y$.

Подставим первое значение $x$ во второе уравнение: $7x^2 - 8xy + 7y^2 = 43$ $7 \left(\frac{3y + \sqrt{145 - 16y^2}}{5}\right)^2 - 8 \left(\frac{3y + \sqrt{145 - 16y^2}}{5}\right)y + 7y^2 = 43$

Подставим второе значение $x$ во второе уравнение: $7x^2 - 8xy + 7y^2 = 43$