Question

У = 4х^2 – 2х^4Исследуйте функцию с помощью производной и постройте график​

Answer 1

Ответ:

============================

Объяснение:

Answer 2

Для исследования функции $У = 4х^2 - 2х^4$ с помощью производной, сначала найдем производную функции $У$ по $х$ и затем проанализируем критические точки, интервалы возрастания и убывания, а также экстремумы. После этого построим график функции.

Шаг 1: Найдем производную функции $У$ по $х$:

$У' = \frac{d}{dx}(4x^2 - 2x^4) = 8x - 8x^3$

Шаг 2: Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю и решая уравнение:

$8x - 8x^3 = 0$

Факторизуем:

$8x(1 - x^2) = 0$

Таким образом, $x = 0$ или $x = \pm 1$ - критические точки.

Шаг 3: Найдем интервалы возрастания и убывания:

Используем табличный метод, подставляя вторые производные:

$У'' = \frac{d^2}{dx^2}(4x^2 - 2x^4) = 8 - 24x^2$

Подставим критические точки во вторую производную:

• Для $x = 0$: $У''(0) = 8 - 24(0)^2 = 8 > 0$, значит, у функции $У$ есть локальный минимум в $x = 0$.
• Для $x = 1$: $У''(1) = 8 - 24(1)^2 = -16 < 0$, значит, у функции $У$ есть локальный максимум в $x = 1$.
• Для $x = -1$: $У''(-1) = 8 - 24(-1)^2 = -16 < 0$, значит, у функции $У$ есть локальный максимум в $x = -1$.

Теперь мы знаем, что у функции есть локальный минимум в $x = 0$ и локальные максимумы в $x = \pm 1$.

Шаг 4: Построим график функции $У = 4х^2 - 2х^4$:

Для этого нарисуем оси координат $x$ и $У$ и отметим найденные критические точки:

• Локальный минимум в $x = 0$: точка $(0, У(0)) = (0, 0)$.
• Локальный максимум в $x = 1$: точка $(1, У(1)) = (1, 2)$.
• Локальный максимум в $x = -1$: точка $(-1, У(-1)) = (-1, 2)$.

Также учтем, что при $x = 0$ и $x \rightarrow \pm\infty$ значение функции стремится к $+\infty$ (парабола с ветвями вверх).

График функции будет выглядеть примерно так:

perlCopy code
    ^
  3 |              +--------------+
    |              |              |
  2 |              |              |
    |              |      +       |
  1 |              |     / \      |
    |              |    /   \     |
  0 |              |   /     \    |
    |              |  /       \   |
 -1 |              | /         \  |
    |              |/           \ |
 -2 |______________*-------------+_________________>
   -2              0             1                2

Минимум в $x = 0$ и максимумы в $x = \pm 1$ являются локальными экстремумами, а график функции имеет форму параболы с ветвями, обращенными вверх.