Question

Спростіть вираз sin 5a * cos a- sin a* cos 5a *

Answer 1

$sin5a\cdot cosa-sina\cdot cos5a=sin(5a-a)=sin4a$

Answer 2

Для спрощення виразу, скористаємося тригонометричним тотожністю про добуток синусів двох кутів:

sin(α) * cos(β) = (1/2) * [sin(α + β) + sin(α - β)]

Застосуємо це тотожність для обох членів виразу:

sin(5α) * cos(α) - sin(α) * cos(5α) = (1/2) * [sin(5α + α) + sin(5α - α)] - (1/2) * [sin(α + 5α) + sin(α - 5α)]

Тепер спростимо аргументи синусів:

sin(5α + α) = sin(6α) sin(5α - α) = sin(4α) sin(α + 5α) = sin(6α) sin(α - 5α) = sin(-4α) = -sin(4α)

Тоді отримаємо:

(1/2) * [sin(6α) + sin(4α)] - (1/2) * [sin(6α) - sin(4α)]

Тепер зменшимо підобрані добутки:

(1/2) * sin(6α) + (1/2) * sin(4α) - (1/2) * sin(6α) + (1/2) * sin(4α)

Скоротимо подібні доданки:

(1/2) * sin(4α) + (1/2) * sin(4α) = sin(4α)

Таким чином, спрощений вираз буде:

sin(5α) * cos(α) - sin(α) * cos(5α) = sin(4α)