Question

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (x+1)|x-2|=a^2 имеет три корня. ​

Answer 1

Ответ:

Такого значения не существует

Объяснение:

Уравнение не может иметь корней больше, чем его степень.

Данное уравнение имеет вторую степень, а потому не может иметь больше двух корней.

Answer 2

Дано уравнение: $(x+1) |x-2| = a^2$

Для того чтобы уравнение имело три корня, модуль $(x-2)$ должен быть равен нулю при одном значении $x$ и положительным при другом значении $x$.

Условия для того, чтобы уравнение имело три корня:

1. $(x-2) = 0$ и $(x+1) = a^2$
2. $(x-2) > 0$ и $(x+1) = a^2$
3. $(x-2) < 0$ и $(x+1) = -a^2$

Рассмотрим каждое условие:

1. $(x-2) = 0$ и $(x+1) = a^2$

Из первого уравнения получаем $x = 2$, а из второго уравнения $a^2 = 3$. Таким образом, при $a = \pm \sqrt{3}$ уравнение имеет три корня, когда $x = 2$.

2. $(x-2) > 0$ и $(x+1) = a^2$

Из второго уравнения получаем $x = a^2 - 1$. Условие $(x-2) > 0$ означает, что $x$ должен быть больше 2. Таким образом, для этого случая у нас будет третий корень, если $a^2 - 1 > 2 \Rightarrow a^2 > 3 \Rightarrow a > \sqrt{3}$ или $a < -\sqrt{3}$.

3. $(x-2) < 0$ и $(x+1) = -a^2$

Из второго уравнения получаем $x = -a^2 - 1$. Условие $(x-2) < 0$ означает, что $x$ должен быть меньше 2. Таким образом, для этого случая у нас будет третий корень, если $-a^2 - 1 < 2 \Rightarrow -a^2 < 3 \Rightarrow a^2 > -3 \Rightarrow a > \sqrt{3}$ или $a < -\sqrt{3}$.

Таким образом, все значения параметра $a$, при которых уравнение имеет три корня, это $a \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$.