Question

Найти неопределенный интеграл ln(x+√(1+x^2))dx. Использовать метод интегрирования по частям

Answer 1

Ответ: если возникнут вопросы , валяй

Объяснение: тут в общем все просто. Интеграл(/) /UdV=UV-/VdU(по частям) , затем найдем U , dU, dV, V ,затем подставляем , крч вот так , знаешь объяснение тут ни к чему

Answer 2

Для нахождения неопределенного интеграла ∫ln(x+√(1+x^2))dx с помощью метода интегрирования по частям, мы выберем две функции $u$ и $dv$, и применим следующую формулу:

$$\int u \, dv = uv - \int v \, du.$$

Давайте выберем $u = \ln(x+\sqrt{1+x^2})$ и $dv = dx$, тогда $du = \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}} \cdot \left(1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right) \, dx$ и $v = x$. Теперь мы можем применить формулу и проинтегрировать:

$$\begin{align*} \int \ln(x+\sqrt{1+x^2}) \, dx &= x \ln(x+\sqrt{1+x^2}) - \int x \cdot \frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}} \cdot \left(1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right) \, dx \\ &= x \ln(x+\sqrt{1+x^2}) - \int \frac{x}{x+\sqrt{1+x^2}} \, dx - \int \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}} \, dx. \end{align*}$$

Первый интеграл на правой стороне можно решить с помощью замены переменных $u = 1+x^2$:

$$\begin{align*} \int \frac{x}{x+\sqrt{1+x^2}} \, dx &= \int \frac{x}{\sqrt{1+x^2} \cdot (1+\sqrt{1+x^2})} \, dx \\ &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \, du \quad \text{ (здесь } du = 2x \, dx) \\ &= \frac{1}{2} \ln|1+\sqrt{1+x^2}| + C_1, \end{align*}$$

где $C_1$ — произвольная постоянная.

Второй интеграл на правой стороне можно решить с помощью подстановки $u = \sqrt{1+x^2}$