Question

Решите уравнение cos^2x +cosx = 2

Answer 1

Объяснение:

Сделаем в уравнении замену переменной, cos (x) = y.

Получаем простое квадратное уравнение, его корни находим через детерминант:

y^2 - y - 2 = 0;

D = (-1) ^2 - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9.

y1 = (1 + 3) / 2 = 2;

y2 = (1 - 3) / 2 = - 1.

Первый корень уравнения y1 = 2 отбрасываем, поскольку косинус не может быть больше 1.

cos (х) = - 1;

х = pi +2 * pi * n, где n = целое число.

Answer 2

Для решения уравнения cos^2(x) + cos(x) = 2, давайте заменим cos^2(x) на (1 - sin^2(x)), так как синус и косинус связаны тригонометрическим тождеством sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

Теперь у нас есть уравнение вида (1 - sin^2(x)) + cos(x) = 2.

Переносим все члены в одну сторону уравнения:

1 - sin^2(x) + cos(x) - 2 = 0.

Далее преобразуем:

• sin^2(x) + cos(x) - 1 = 0.

Теперь заменим cos(x) на sqrt(1 - sin^2(x)), используя тригонометрическое тождество:

• sin^2(x) + sqrt(1 - sin^2(x)) - 1 = 0.

Обозначим sin(x) = t:

• t^2 + sqrt(1 - t^2) - 1 = 0.

Это квадратное уравнение относительно t^2. Решим его:

t^2 + sqrt(1 - t^2) - 1 = 0.

t^2 = 1 - sqrt(1 - t^2).

t^2 + sqrt(1 - t^2) - 1 = 0.

Теперь введем замену: u = sqrt(1 - t^2).

Тогда уравнение примет вид:

(1 - u^2) + u - 1 = 0.

-u^2 + u = 0.

u(u - 1) = 0.

Таким образом, у нас два возможных значения u:

1. u = 0.
2. u - 1 = 0, откуда u = 1.

Теперь вернемся к исходной замене t = sin(x):

1. sin(x) = 0.

2. sqrt(1 - sin^2(x)) = 1.

3. sin(x) = 0 имеет решения: x = 0 + 2πk и x = π + 2πk, где k - целое число.

4. sqrt(1 - sin^2(x)) = 1, но это не возможно, так как квадратный корень не может быть больше 1.

Таким образом, решение уравнения cos^2(x) + cos(x) = 2:

x = 0 + 2πk и x = π + 2πk, где k - целое число.