Question

Найдите значение cos a, если tg a = 2 и 0 < a < π/2

Answer 1

$sin\alpha^2+cos\alpha^2=1\\tg\alpha^2+1=\frac{1}{cos\alpha^2}\\cos\alpha=\sqrt{\frac{1}{tg\alpha^2+1}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

Альфа в первой четверти, в ней косинус положительный

Answer 2

Дано, что $\tan{a} = 2$ и $0 < a < \frac{\pi}{2}$.

Мы знаем, что $\tan{a} = \frac{\sin{a}}{\cos{a}}$. Можем использовать это соотношение, чтобы выразить $\cos{a}$:

$\tan{a} = \frac{\sin{a}}{\cos{a}}$

$\cos{a} = \frac{\sin{a}}{\tan{a}}$

Мы также знаем, что $\sin^2{a} + \cos^2{a} = 1$ (тригонометрическая идентичность). Мы можем подставить выражение для $\cos{a}$ из первого уравнения в это уравнение:

$\sin^2{a} + \left(\frac{\sin{a}}{\tan{a}}\right)^2 = 1$

Подставим значение $\tan{a} = 2$:

$\sin^2{a} + \left(\frac{\sin{a}}{2}\right)^2 = 1$

Раскроем квадрат:

$\sin^2{a} + \frac{\sin^2{a}}{4} = 1$

Умножим обе стороны уравнения на 4 для упрощения:

$4\sin^2{a} + \sin^2{a} = 4$

Складываем члены:

$5\sin^2{a} = 4$

Теперь делим обе стороны на 5:

$\sin^2{a} = \frac{4}{5}$

Находим $\sin{a}$:

$\sin{a} = \sqrt{\frac{4}{5}}$

$\sin{a} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Теперь, используя соотношение $\cos^2{a} = 1 - \sin^2{a}$, найдем $\cos{a}$:

$\cos^2{a} = 1 - \frac{4}{5}$

$\cos^2{a} = \frac{1}{5}$

$\cos{a} = \sqrt{\frac{1}{5}}$

$\cos{a} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

С учетом того, что $0 < a < \frac{\pi}{2}$, $\cos{a}$ положителен.

Итак, $\cos{a} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.