Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=cos2x,y=0,x=-pi/6,x=pi/3

Answer 1

$\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}cos2xdx=\left.\left.\begin{matrix}\frac{sin2x}{2}\end{matrix}\right|_{-\frac{\pi}{6}}^_{\frac{\pi}{3}}$

$\frac{sin\left (2\cdot \frac{\pi}{3} \right )}{2}+\frac{sin\left (2\cdot \frac{\pi}{6} \right )}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями, нужно определить границы интегрирования и интегрировать функцию y = cos(2x) вдоль оси x между этими границами.

На данном случае, границы интегрирования будут соответствовать точкам пересечения кривой y = cos(2x) с осью x.

1. Найдем точки пересечения: y = 0 (по оси x) => cos(2x) = 0 => 2x = π/2 + kπ, где k - любое целое число. x = (π/2 + kπ) / 2 = π/4 + kπ/2

Точки пересечения с осью x будут: x = π/4 и x = 5π/4.

2. Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой и осью x:

S = ∫[a, b] y dx,

где a и b - границы интегрирования. В данном случае, a = π/4, b = 5π/4.

S = ∫[π/4, 5π/4] cos(2x) dx

Чтобы вычислить этот интеграл, найдем первообразную функции cos(2x):

∫ cos(2x) dx = (1/2) sin(2x) + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь вычислим значение определенного интеграла:

S = (1/2) ∫[π/4, 5π/4] sin(2x) dx

S = (1/2) [- (1/2) cos(2x)] [π/4, 5π/4]

S = (1/2) [- (1/2) cos(5π/2) + (1/2) cos(π/2)]

S = (1/2) [- (1/2) * 0 + (1/2) * 1]

S = (1/2) * (1/2) = 1/4

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривой y = cos(2x), осью x и вертикальными линиями x = π/4 и x = 5π/4, равна 1/4 квадратных единицы.