Question

Знайти усі значення а при яких нерівність (a-6)x^2+(2a-12)x+7>0 виконується для всіх значень x.

Answer 1

Если $a=6$, то имеем неравенство $7>0$, верное при любых значениях $x$.

Если $a\neq 6$, то неравенство - квадратное. Оно выполняется при всех $x$ только в том случае, если $D< 0$.

$D=b^2-4ac=(2a-12)^2-4\cdot7(a-6)=4a^2-48a+144-28a+168=4a^2-76a+312$

$4a^2-76a+312$

Поскольку $a=6$ удовлетворяет условию, окончательный ОТВЕТ: $a\in [6; 13)$

Answer 2

Щоб виконувалася нерівність для всіх значень x, необхідно, щоб коефіцієнти квадратного тричлена були такі, що дискримінант D був менше нуля. Давайте розглянемо цей випадок.

Формула для обчислення дискримінанту D квадратного тричлена ax^2 + bx + c дорівнює D = b^2 - 4ac. У нашому випадку, a = (a - 6), b = (2a - 12), c = 7.

Підставляємо ці значення в формулу дискримінанту:

D = (2a - 12)^2 - 4(a - 6)(7)

Розкриваємо дужки:

D = 4a^2 - 48a + 144 - 28(a - 6)

D = 4a^2 - 48a + 144 - 28a + 168

D = 4a^2 - 76a + 312

Тепер ми хочемо, щоб D було менше нуля:

4a^2 - 76a + 312 < 0

Ця нерівність є квадратною, і ми можемо вирішити її, використовуючи різницю двох квадратів:

(2a - 26)(2a - 12) < 0

Щоб розв'язати цю нерівність, ми розглянемо різні можливості для знаків кожного множника:

1. (2a - 26) > 0 і (2a - 12) < 0: 2a > 26 і 2a < 12 a > 13 і a < 6

2. (2a - 26) < 0 і (2a - 12) > 0: 2a < 26 і 2a > 12 6 < a < 13

3. (2a - 26) > 0 і (2a - 12) > 0: 2a > 26 і 2a > 12 a > 13/2 і a > 6

4. (2a - 26) < 0 і (2a - 12) < 0: 2a < 26 і 2a < 12 a < 13/2 і a < 6

Отже, ми маємо чотири різні діапазони значень a, при яких нерівність (a-6)x^2 + (2a-12)x + 7 > 0 виконується для всіх значень x:

1. a > 13 і a < 6
2. 6 < a < 13
3. a > 13/2 і a > 6
4. a < 13/2 і a < 6