Question

Исследуйте функцию с помощью производной на область определения и значений, монотонность и непрерывность, если у= х^3+3x^2+4.

Answer 1

Ответ:

Производная: 3x^2+6x

Answer 2

Дана функция $y = x^3 + 3x^2 + 4$. Давайте проведем исследование этой функции.

1. Найдем производную функции: $y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 + 4) = 3x^2 + 6x.$

2. Определим область определения: Функция $y = x^3 + 3x^2 + 4$ определена для всех действительных чисел $x$, так как в выражении нет никаких ограничений на переменную $x$.

3. Исследуем знак производной: Для анализа монотонности функции нам понадобится исследовать знак ее производной. Значения $3x^2 + 6x$ больше нуля для $x > 0$ и меньше нуля для $x < 0$. Это означает, что функция $y = x^3 + 3x^2 + 4$ возрастает на интервалах $(-\infty, -2)$ и $(0, +\infty)$, и убывает на интервале $(-2, 0)$.

4. Найдем точки экстремума: Точки экстремума находятся в местах, где производная обращается в ноль. Решим уравнение $3x^2 + 6x = 0$: $3x(x + 2) = 0.$ Отсюда получаем две точки: $x = 0$ и $x = -2$.

5. Исследуем знаки второй производной: Для определения характера точек экстремума (минимум или максимум) необходимо исследовать знаки второй производной. Вторая производная функции $y'' = \frac{d^2}{dx^2}(3x^2 + 6x) = 6$ всегда положительна. Это означает, что точки $x = 0$ и $x = -2$ представляют собой локальные минимумы.

6. Исследуем непрерывность: Функция $y = x^3 + 3x^2 + 4$ является многочленом, и многочлены непрерывны на всей числовой прямой.

Итак, наше исследование функции $y = x^3 + 3x^2 + 4$ приводит к следующим результатам:

• Область определения: $-\infty < x < +\infty$.
• Значения: $y$ принимает все действительные значения.
• Монотонность: $y$ возрастает на $(-\infty, -2)$ и $(0, +\infty)$, и убывает на $(-2, 0)$.
• Экстремумы: есть локальный минимум в точке $(-2, -4)$ и локальный минимум в точке $(0, 4)$.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей числовой прямой.