Question

Найдите все значения x, при которых числа 2(x+1) , x ,x+1 являются последовательными членами геометрической прогресси

Answer 1

Ответ:

$x_{1} = \sqrt{2} - 2 \\\\x_{2} = -2 - \sqrt{2}$

Объяснение:

Геометрическая прогрессия - это последовательность, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число.

Формула знаменателя геометрической прогрессии: $q = \frac{b_{n+1}}{b_{n} }$. Таким образом если числа 2(x+1) , x ,x+1 образуют геометрическую последовательность, то:

$\left \{ {x\ =\ 2(x+1)*q} \atop {x + 1\ =\ x*q}} \right. \\\\\left \{ {q\ = \ \frac{x}{2(x+1)} } \atop {q\ = \ \frac{x}{x+1}} \right.$

Тогда получаем уравнение:

$\frac{x}{2(x + 1)} = \frac{x + 1}{x} \\\\2(x + 1)*(x + 1) = x*x\\\\2(x^{2} + 2x + 1) = x^{2} \\\\2x^{2} +4x + 2 - x^{2} = 0\\\\x^{2} +4x + 2 = 0\\\\D = 4^{2} - 4*2*1 = 16 - 8 = 8\\\\x_{1,2} = \frac{-4 \frac{+}{} \sqrt{8} }{2} = \frac{-4 \frac{+}{} 2\sqrt{2} }{2} = -2 \frac{+}{} \sqrt{2} \\\\x_{1} = -2 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 2 \\x_{2} = -2 - \sqrt{2}$

Answer 2

Для того чтобы числа 2(x+1), x и x+1 были последовательными членами геометрической прогрессии, условие должно выполняться:

(x) / (2(x+1)) = (x+1) / x

Решим это уравнение:

x^2 = 2(x+1)(x+1) x^2 = 2(x^2 + 2x + 1) x^2 = 2x^2 + 4x + 2 0 = x^2 + 4x + 2

Используя квадратное уравнение, мы получаем:

x = (-4 ± √(4^2 - 412)) / (2*1) x = (-4 ± √(16 - 8)) / 2 x = (-4 ± √8) / 2 x = (-4 ± 2√2) / 2

Теперь у нас есть два значения x:

1. x = (-4 + 2√2) / 2 = -2 + √2
2. x = (-4 - 2√2) / 2 = -2 - √2

Итак, два значения x, при которых числа 2(x+1), x и x+1 являются последовательными членами геометрической прогрессии, это x = -2 + √2 и x = -2 - √2.