Question

(x-2)^2 (x+1)(x-3)<0

Answer 1

$(x-2)^{2}(x+1)(x-3) < 0$

Имеем неравенство высокого порядка. Решим его методом интервалов.

1) Найдем точки пересечения функции $f(x) = (x-2)^{2}(x+1)(x-3)$ с осью абсцисс, приравняв ее к нулю:

$(x-2)^{2}(x+1)(x-3) = 0$

Произведение множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю:

$x - 2 = 0$, или $x + 1 = 0$, или $x - 3 = 0$

Тогда $x_{1} = -1; \ x_{2} = 2; \ x_{3} = 3$ — абсциссы точек пересечения функции $f(x)$ с осью абсцисс.

2) Выясним знак (значение) функции $f(x)$ на каждом из четырех участков, подставляя любое значение $x$ из заданного промежутка в функцию (см. вложение).

Следовательно, решением неравенства будет промежуток $x \in (-1; \ 2) \cup (2; \ 3)$

Ответ: $x \in (-1; \ 2) \cup (2; \ 3)$

Answer 2

To solve the inequality $(x-2)^2 (x+1)(x-3) < 0$, we can use a sign chart or interval notation. Let's break it down step by step:

1. Find the critical points by setting each factor equal to zero:

   • $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
   • $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$
   • $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$

2. Plot these critical points on a number line:

   $-\infty \quad -1 \quad 2 \quad 3 \quad \infty$

3. Choose test points within each interval:

   • For $-\infty < x < -1$, choose $x = -2$.
   • For $-1 < x < 2$, choose $x = 0$.
   • For $2 < x < 3$, choose $x = 2.5$.
   • For $x > 3$, choose $x = 4$.

4. Determine the sign of each factor at the test points:

   • For $x = -2$:
     • $(x - 2)^2 = ( -2 - 2)^2 = 16$ (positive)
     • $(x + 1) = (-2 + 1) = -1$ (negative)
     • $(x - 3) = (-2 - 3) = -5$ (negative)
   • For $x = 0$:
     • $(x - 2)^2 = (0 - 2)^2 = 4$ (positive)
     • $(x + 1) = (0 + 1) = 1$ (positive)
     • $(x - 3) = (0 - 3) = -3$ (negative)
   • For $x = 2.5$:
     • $(x - 2)^2 = (2.5 - 2)^2 = 0.25$ (positive)
     • $(x + 1) = (2.5 + 1) = 3.5$ (positive)
     • $(x - 3) = (2.5 - 3) = -0.5$ (negative)
   • For $x = 4$:
     • $(x - 2)^2 = (4 - 2)^2 = 4$ (positive)
     • $(x + 1) = (4 + 1) = 5$ (positive)
     • $(x - 3) = (4 - 3) = 1$ (positive)

5. Determine the signs of the factors in each interval:

   • For $-\infty < x < -1$, the signs are $-, -, -$.
   • For $-1 < x < 2$, the signs are $-, +, -$.
   • For $2 < x < 3$, the signs are $+, +, -$.
   • For $x > 3$, the signs are $+, +, +$.

6. Analyze the signs to find where the expression is less than zero:

   • For $-\infty < x < -1$, the expression is negative.
   • For $-1 < x < 2$, the expression is positive.
   • For $2 < x < 3$, the expression is negative.
   • For $x > 3$, the expression is positive.

7. Write the final solution using interval notation: The solution to $(x-2)^2 (x+1)(x-3) < 0$ is $x \in (-\infty, -1) \cup (2, 3)$.