Question

Сколько существует пар простых чисел, разность квадратов которых равна 21?

Answer 1

пусть x y простые числа

тогда x² - y² = 21

21 = 1*3*7

рассмотрим пары 21 = 1*21, 21 = 3*7, 21 = 7*3, 21 = 21*1

x² - y² = (x - y)(x + y)

получаем системы

1. x - y = 1

x + y = 21

2x = 22

x = 11

y = 10 нет

2. x - y = 3

x + y = 7

2x = 10

x = 5

y = 2  да

3. x - y = 7

x + y = 3

2x = 10

x = 5

y = -2  нет

4. x - y = 21

x + y = 1

2x = 22

x = 11

y = -10  нет

ответ одна пара  5 и 2

если искать целые, то эти 4 + надо -1 * (-21), -3*(-7), -7*(-3), -21*(-1)

Answer 2

Давайте рассмотрим задачу более подробно. Пусть у нас есть два простых числа: p и q, такие что p > q, и разность их квадратов равна 21. То есть:

p^2 - q^2 = 21

Мы можем преобразовать это выражение, используя разность квадратов:

(p + q)(p - q) = 21

Так как p и q - простые числа, и разность их квадратов равна 21, то есть всего несколько вариантов для их комбинаций:

1. (p + q) = 21, (p - q) = 1
2. (p + q) = 7, (p - q) = 3

Рассмотрим каждый из этих вариантов:

1. (p + q) = 21, (p - q) = 1 Решая эту систему уравнений, получаем p = 11, q = 10. Однако число 10 не является простым.

2. (p + q) = 7, (p - q) = 3 Решая эту систему уравнений, получаем p = 5, q = 2. Оба числа являются простыми.

Таким образом, существует только одна пара простых чисел, разность квадратов которых равна 21: (p, q) = (5, 2).